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1、五 均方随机微分方程在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题.如: 随机干扰下的控制问题通讯技术中的滤波问题要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程.定理 设二阶矩过程均方连续，a(t)是普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机 微分方程有解，其解为注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P.利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为也可以通过解以下一般的微分方程组得到也可以解下列普通微分方程得到对(1)的两边取共轭再同乘Y(t),并求期望得在(1)的两边同乘以取期望得举例 1.一阶线性随机微分方程试求 此微分方程的解
2、,解的均值函数,相关函数以及一维概率密度函数解由公式解为2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征其中g是常数.解由公式解为六 正态过程的随机分析正态过程是一种重要的二阶矩过程.内容:1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限2.均方可导的正态过程性质3.正态过程的均方不定积分性质定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量.为正态随机变量序列，且 则X是正态随机变量即若证明所以X是正态随机变量说明 以上定理中,若Xn为一族随机变量也成立.即若X(t).tT为一族正态随机变量,且则X是正态随机变量推论定理2 n维正态随机向量序列的均方极限仍是n维正态随机向量即为一列n维正态随机向量,
3、m=1,2,即对每个均有是n维正态随机向量是n维正态随机向量为一族n维正态随机向量，定理设X(t).tT为一正态过程,若对任意的tT,X(t) 均方可导,则其均方导数过程仍是正态过程，且其任意有限维特征函数是分别是均值函数和协方差函数证明 因为X(t).tT为一正态过程,则对任意的所以导数过程是正态过程.再利用导数过程的数字特征与原过程数字特征的关系得定理4分别是均值函数和协方差函数为一均方连续的正态过程，仍是正态过程，且其任意有限维特征函数为证明又因为X(t).ta,b为一正态过程,所以再利用均方不定积分的数字特征与原过程数字特征的 关系得举例 设X(t),t(-,+ )是二次均方可导的实正态过程,且对t(-,+ ),试求三维随机变量 的协方差矩阵;并证明该向量服从三维正态分布例 证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量证明所以X是Poisson随机变量.本章作业: 2, 4, 5, 6, 7, 11, 13
