专题1 实际应用问题研究

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1、专题1 实际应用问题研究综合评述 实际应用性问题是中考试题的常考题型随着新 课程注重联系实际理念的深入实施，实际应用性 问题的结构与形式发生了较大的变化：已不再是 只注重计算的难度和解题技巧。而以富有时代气 息，立意新颖，极富有实际应用价值的生活素质 为背景，进行设计创编，形成符合初中生认知水 平的新型应用题。这类试题涉及范围广，类型丰 富，呈现形式新鲜有活力这类应用题主要包括 方程(组)和不等式(组)的应用，几何的应用，函数 的应用及统计与概率的应用等解题时应注意耐 心仔细读题，认真领会，寻找数量关系和变化规 律，建立相应数学模型，利用相应数学知识解决 实际问题。考题选讲一、构建方程(组)解

2、决实际应用问题解决这类问题的关键是找出问题中 的主要等量关系列出方程，从而解 决实际问题例1 (2008年成都)金泉街道改建工程指挥 部，要对某路段工程进行招标，接到了甲 、乙两个工程队的投标书从投标书中得 知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙 队单独完成这项工程所需天数的若由甲队 先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合 作30天可以完成(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要 多少天? 分析 这是一道富有时代气息的方程应用题， 列方程的关键是寻找等量关系，甲队先做的 工程量+甲、乙合作的工程量=1解 (1)设乙队单独完成这项工程需要x天， 则甲队单独完成这项工程需要 天，根据 题意得：解得x

3、=90，经检验x=90是原方程的根甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和 90天(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元， 乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预 算的施工费用为50万元为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作 完成这项工程，则工程预算的施工费用是 否够用?若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由 解 (2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要 y天，则有 解得y=36 需要施工费用：36(0.84+0.56)=50.4(万元) 50.450 工程预算的施工费用不够用，需追加预算 0.4万元 【评讲】 (1)本题属分式方程要写出检验步骤；(2)小题审题

4、要准，并不是求出合作的工作时间，而是判断预算费用是否够用二、构建不等式(组)解决实际应用题解决此类问题的关键是根据题意，确定问题里的不等关系或相等关系，从而构建不等式(组)求解例2 (2008昆明)某校决定购买一些跳绳和 排球，需要的跳绳数量是排球数量的3倍， 购买的总费用不低于2200元，但不高于 2500元(1)商场内跳绳的售价为20元/根，排球的售 价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按 照学校所定的费用，有几种购买方案?每种 方案中跳绳和排球的数量各为多少?解 (1)根据题意得：x为正整数 x可取60，61，62，63，64，65，66， 67，68方案一：跳绳60根，排球20个；方

5、案二：跳绳63根，排球21个；方案三：跳绳66根，排球22个也必须是整数， 可取20，21，22， 有三种购买方案：例2 (2008昆明)某校决定购买一些跳绳和 排球，需要的跳绳数量是排球数量的3倍， 购买的总费用不低于2200元，但不高于 2500元(1)商场内跳绳的售价为20元/根，排球的售 价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按 照学校所定的费用，有几种购买方案?每种 方案中跳绳和排球的数量各为多少?(2)在(1)的方案中，哪一种方案的总费用最 少?最少费用是多少元?解 (2)在(1)中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为： 6020+2050=2200(元) 例2 (

6、2008昆明)某校决定购买一些跳绳和排球，需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元(1)商场内跳绳的售价为20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案?每种方案中跳绳和排球的数量各为多少? (2)在(1)的方案中，哪一种方案的总费用最少?最少费用是多少元? (3)由于购买数量较多，该商场规定20元/根的跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用(2)中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球?解 (3)设用(2)中的最少费用最多还可以多买 的排球数量为y，y为正整数，的最大正整数为3 多买的排球为3个， 多买

7、的跳绳为：3y=9(根)【评讲】本题文 字内容较多，认 真读题弄清数量 之间的不等关系 ，建立相应的不 等式模型，从而 解决问题三、构建函数解决实际应用问题解决此类问题的关键是把好审题关，提高函数建模能力，引入适当的坐标系，充分利用图象上特殊点的坐标和图象的性质，解决实际问题 例3 (2008武汉)某商品的进价为每件30元 ，现在的售价为每件40元，每星期可卖出 150件. 市场调查反映：如果每件的售价每 涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星 期少卖10件设每件涨价x元(x为非负整 数)，每星期的销量为y件(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；例3 (2008武汉)某商品的进价

8、为每件30元 ，现在的售价为每件40元，每星期可卖出 150件. 市场调查反映：如果每件的售价每 涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星 期少卖10件设每件涨价x元(x为非负整数) ，每星期的销量为y件(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每 星期的销量较大?每星期的最大利润是多少 ?解 (2)设每星期的利润为W，则有：由于x的取值范围不包括 故根据二次函数的对称性当x=2或3时，利润均 为1560元，但x=2时，销售量为130件；x=3时 ，销售量为120件，故x取2所以当售价为42元 时，每周的利润最大且销售量最大，最大利润 为1560元【评讲】 (2)问的解决要认真分析，自变量取值范

9、围是0x5的整数，不包括需要根据函数的增减性来判断，同时要注意使销售量最大的题设条件 四、构建三角函数模型解决实际应用问题这类实际问题，大多题材新颖，贴近生活，要求考生能从实际问题中抽象出直角三角形模型，或通过添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形的知识进行求解例4 (2008成都)如图，某中学九年级一班数学 课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他 们要在某公园工人湖旁的小山AB上，测量湖 中两个小岛C、D间的距离从山顶A处测得 湖中小岛C的俯角为60， 测得湖中小岛D的俯角为 45已知小山AB的高为 180米，求小岛C、D间的 距离(计算过程和结果均 不取近似值)解 如图,由已知,

10、可得ACB=60,ADB=45 在RtABD中，BD=AB， 又在RtABC中，【评讲】 解此类题的关键是构造直角三角形，然后利用直角三角形中的边角关系和特殊角的三角函数值解决，要注意题目所规定的取近似值或不取近似值 五、运用几何知识解决实际应用问题 这类应用问题，主要是运用图形的数量关系，根据相应公式及图形的识别、性质，构建某种数量关系例5 (2007沈阳)如图，从一个直径是2的圆 形铁皮中剪下一个圆周角为90的扇形(1)求这个扇形的面积(结果保留)解 (1)连接BC，由勾股定理得： 例5 (2007沈阳)如图，从一个直径是2的圆 形铁皮中剪下一个圆周角为90的扇形(2)在剩下的三块余料中，

11、能否从第块料 中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个 圆锥?请说明理由提示：连接AO并延长， 与扇形的弧BC和O交 于E、F. 解 (2)连接AO并延长，与扇形的弧BC和O交 于E、F， 弧BC的长： 圆锥的底面直径为： 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇 形围成圆锥；例5 (2007沈阳)如图，从一个直径是2的圆 形铁皮中剪下一个圆周角为90的扇形(2)在剩下的三块余料中，能否从第块料 中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个 圆锥?请说明理由(3)当O的半径R(R0)为任意值时，(2)中 的结论是否依然成立?请说明理由解 (3)由勾股定理得： 弧BC的长： 圆锥的底面直径为： 即无论半径R为何

12、值，EF2r， 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇 形围成圆锥【评讲】 本题是一道几何应用题，解答第(1)题的关 键是由BAC=90，得到BC为O的直径 解答(2)题应从连接AO并延长，与弧BC 和O的两个交点入手，因为要在第块余料中剪出一个圆，其最大的直径就是这两 个交点距离，若这个最大的直径比圆锥的 底面圆的直径还要小的话，则无法从第块余料中剪出一个符合要求的圆，这是解 决后两个问题的关键六、运用统计知识解决实际应用问题运用统计知识解决实际应用问题，大多联系实际，贴近生活，以形势预测，决策问题为发展方向，要求学生能够对学过的统计知识综合运用，正确地做出分析或决策例6 (2008北京)为减

13、少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”(以下简称“限塑令”)某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查 了“限塑令”实施前后，顾客在该超市使用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约 有2000人次到该超市购物，根据这100位顾 客平均一次购物使 用塑料购物袋的平均 数，估计这个超市每 天需要为顾客提供多 少个塑料购物袋；补全图1见右图这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的 平均数为3个 20003=6000 估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料 购物袋(2)补全图2，并根据统计图和统计表说明， 购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后 怎样处理，能对环境保护带来积极的影响解 (2)图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占部分比为25根据图表回答正确即可，例如：由图2和统 计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押 金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物 袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋 的使用量，为环保做贡献 【评讲】解答这类题 的关键是正确分析图 表给出的信息，避免 出现答案与图表信息 无关的错误祝同学们：学习进步！愿我们：心想事成！