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1、第三章 力系平衡条件31 平衡方程的解析形式 33 物体系统的平衡问题FnF1F2yzxOF1Fn F2MnM2M1zyxOMOFROxyz空间任意力系空间任意力系向点O简化得到一空间汇交力系合成一力一空间力偶系 合成一力偶空间任意力系的平衡方程FR0，MO 0 =空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零， 且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。例 均质长方形板ABCD重G=200N，用球 形铰链A和碟形铰链B固定在墙上，并用绳 EC维持在水平位置，求绳的拉力和A,B两处的约束力。解：以板为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：例 用六根杆支撑正方
2、形板ABCD如图所示，水平力 沿水平 方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力等于零。以解析式表示为：空间汇交力系平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所 有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。例 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知 P1000N，CEED12cm，EA24cm，b 45，不计杆重；求绳索的拉 力和杆所受的力。解：以铰A为研究对象，受力如图。由几何关系：解得：空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平 衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：因为：所以：上式即为空间力
3、偶系的平衡方程。空间力偶系的平衡例. 曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求： m1及两支座的约束反力。解：根据力偶只能与力偶平衡的性质,画出构 件的受力图见图示。约束反力ZA和ZD形成一 力偶, XA与XD形成一力偶。故该力系为一空间 力偶系。可解得:OxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR平面任意力系平面汇交力系力，FR (主矢，作用在简化中心)平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任
4、一点的主矩都等于零。即即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。 由于所以平面任意力系平衡方程的其他形式：1. 二矩式注意：A、B两点连线不垂直于x 轴。 2. 三矩式注意：A、B、C 三点不在一条线上。平面汇交力系 合成的几何法、力多边形法则F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。结论：
5、平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和( 几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用矢量式表示为：在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。例 已知 P=2kN 求SCD , RA解: 1. 取AB杆为研究对
6、象2. 画AB的受力图3. 列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；4. 解方程平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。图示一受平面平行力系作用的物体，如选x轴与各力作用线垂直，显然有：平面平行力系的平衡条件为：即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的 代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面平行力系平衡方程的二矩式注意：A、B 两点的连线不能与各力的作用线平行。平面力偶系的平衡所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即思考题1 刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有
7、四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？ F1F3BACD F2F4思考题2PORM从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的 力P为什么能与M平衡呢？ FO例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的 孔,每个钻头的力偶矩为 ,求工件的总 切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶矩为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。例 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。例图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。解：1、研究对象二力杆：AD2、研究对象： 整体思考：CB杆受力情
8、况如何？m练习：解：1、研究对象二力杆：BC2、研究对象： 整体mADAD杆杆例不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。问M1 与M2的比值为多大，结构才能平衡?60o60oABCDM1M2解: 取杆AB为研究对象画受力图。杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光 滑面约束，则A处约束反力的方位可定。ABCM1RARC Mi = 0RA = RC = R, AC = aa R - M1 = 0M1 = a R (1)60o60oABCDM1M2由若干个物体通过约束所组成的系统称为 物体系统。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平 衡。反之，系统中
9、每个物体都平衡，则系统必 然平衡。3.3 物体系的平衡在静力学中求解物体系统的平衡问题时， 若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则 由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独 立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学 理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超 静定问题。静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）研究物体系统平衡问题的目的：1）求支座反力2）求物体间的相互作用力作用在物体系统上的力分为：外力和内力外力：系统以外的物体作用在系统上的力内力：系统内各物体间的相互作用力解决物体系统平
10、衡问题的途径恰当的选取研究对象1）选取整个物体系统作为研究对象，求得某些未知 量，再取其中某部分物体（一个物体或者几个物体的 组合）作为研究对象，求出其他未知量2）先取某部分物体作为研究对象，再取其他部分物 体或整体作为研究对象，逐步求得所有未知量例5例 求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。可解得：CBqaaaAFFAx FAyqCBAFFBx FBy例5再以AC为研究对象，受力如图。解得：FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例 求图示多跨静定梁的支座反力。 解：先以CD为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例 求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。再以AB部分为研究对象，受力如图。求得CBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx
