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1、第六讲 三角函数的图象和性质一、引言：（一）本节的地位：三角函数知识是高 中教学的重要知识之一，三角函数的图 象和性质是三角函数部分的重要内容， 也是历年高考必考查的内容，体现考纲 对运算能力、逻辑推理能力的要求.（二）考纲要求：通过本节的学习能准确画 出 , , 的图象，了 解三角函数的周期性；借助图象理解正弦函 数、余弦函数在 ，正切函数在 上的性质（如单调性、最大和最小值、图象 与 轴交点等），本节重点：能够正确作出 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，理 解正弦函数、余弦函数，正切函数的性质（ 如单调性、最大和最小值、图象与 轴交点 、周期等）.（三）考情分析：主要考查作图能力、图象变
2、换、三角函数的图象及性质，如三角函数的周期、单调区间、最大值、最小值等知识. 对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查.在确定正弦函数 在 上的 图象时，其关键的五个点是 在确定余弦函数 在 上 的图象时，其关键的五个点是二、考点梳理：1“五点法”作正、余弦函数图象、 、 、 、 .、 、 、 、 .2.周期函数：一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 那么函数 就叫周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期，把所有的周期中存在的最小正数，叫做最小正周期.3.五点法作 的简图： 五点取法是设 ,由 取0、 、 、 、2 来求
3、相应的 值及对应的 值，再描点作图.4图象变换：(1)平移变换：左右平移：将函数 图象沿x轴方向平移 个单位后得到函数 的图象.当a0时向左，当a0时向上，当b1 时）或缩短（当0A1 时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.5.研究 的方法：换元法.三、典型问题选讲：（一）与函数图象有关的问题例1已知函数 =Acos( )的图象如图所示， ,则 =（ ）A. B. C. D.分析：由图象可得最小正周期为 于是f(0)f( ),注意到 与 关于 对称所以f( )f( ) 归纳小结：认真分析图形，抓住图形中的已知条件，利用图形的对称 性、周期性求解.例2（2009，浙江）已知a是实数，则函数的图象
4、不可能是（ ）分析：可用排除法，对于振幅大于1时，三角函数的周期为 而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 归纳小结：此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度（二）图象变换例3 若将函数 的图象向右平移 个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的最小值为A B. C. D. 分析：故选D.归纳小结：图象的左右平移要针对x上作变换，两个角的函数值相等，那么这两个角不一定相等，注意它们的关系.例4已知函数 （ ， ）为偶函数，且函数 图象的两相邻对称轴间的距离为 （1）求 的值；（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将
5、得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的单调递减区间分析：先将 化简，利用函数的性质求得 的表达式达到化简求值的目的.解:（1）因为 为偶函数，所以对 ，恒成立，因此整理得因为 ,且 , 所以 又因为 ,故所以即由题意得 ，所以故 因此 （2）将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象所以当 , 即 , 时单调递减，因此 的单调递减区间为 , 归纳小结:(1)由 为偶函数，所以对 ， 恒成立，建立三角函数关系 求得的 值,（2）也可画图象求单调区间 .（三）与图象性质有关的问题例5 已知函数下面
6、结论错误的是（ ）A. 函数 的最小正周期为2 B. 函数 在区间0， 上是增函数C. 函数 的图象关于直线x0对称 D. 函数 是奇函数分析： A、B、C均正确，故错误的是 D.归纳小结：本题要认真审题，本题结论错误的是哪个选项，能够用诱导公式将问题化简.例6 如果函数 的图象关于点 中心对称，那么 的最小值为（ ）A. B. C. D. 分析：本小题考查三角函数的图象性质，熟悉三角函数图象的对称中心.解: 函数 的图象关于点 中心对称. 归纳小结：熟练掌握三角函数的性质如：对称轴方程、对称中心等.，由此得例7 已知函数 （其中 ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一
7、个最低点为 (1)求 的解析式；(2)当 ，求 的值域. 分析：由图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离可知函数的最小正周期，由图象上一个最低点，可求得函数中的参数，使问题得以解决.解：（1）由最低点为 ,得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ，即 ， 由点 在图象上得 故又(2)当 = ，即 时， 取得最大值2;当 即 时， 取得最小值-1，故 的值域为-1,2.归纳小结：熟练掌握三角函数图象的 性质是解决此类问题的关键.例8 已知函数：（1）求函数 的最小正周期；（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值 分析：本小题考查三角函数中的诱导公式 、特殊角三角函数值、两角差公
8、式、倍角 公式、函数 的性质等 基础知识，考查基本运算能力因此，函数 的最小正周期为 （1）解 （2）解法一：因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又 ， ， 故函数 在区间 上的最大值为 .最小值为-1 解法二：作函数 在长度为一个周期的区间 上的图象如下：由图象得函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为归纳小结：对于（2）一种方法是运用函数单调性的性质，另一种解法则是作出函数图象求出最值.四、本专题总结本节课包含作三角函数图象、图象变换、三角函数图象的性质，如周期、单调区间、最大值最小值等知识.主要研究由图象解决问题、利用图象求周期、单调区间、最大值最小值等问题，主要方法有：代点法，整体代入等方法，体现化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，应注意熟练掌握概念、公式，图象及性质，提高综合应用知识的能力.应注意图象的左右平移要在x上作变换，两个角的函数值相等，那么这两个角不一定相等，注意它们的关系.
