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1、题型3 带电粒子在磁场中运动的极值问题【例3】 如图7所示, 匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入,入射方向与CD边界间夹角为.已知电子的质量为m,电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF射出,求电子的速率v0至少多大?图7思维导图解析 当入射速率v0很小时,电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出,速率越大,轨道半径越大,当轨道的边界与EF相切时,电子恰好不能从EF射出,如图所示.电子恰好射出时,由几何知识可得:r+rcos=d又r=由得v0=故电子要射出磁场时速率至少应为答案规律总结 1.解决此类问题的关键是:找准临界点.
2、2.找临界点的方法是: 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语 为突破口,借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关 系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找 出临界点,然后利用数学方法求解极值,常用结论如下: （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运 动的轨迹与边界相切. （2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大 ,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. （3）当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.题型1 带电粒子在有界磁场中的运动【例1】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图4所示
3、.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出.题型探究图4（1）请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷 .（2）若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60角,求磁感应强度B多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？思路点拨 如何确定带电粒子的圆心和运动轨迹?磁场圆的半径与轨迹圆的半径有怎样的定量关系?解析 （1）由粒子的运行轨迹,利用左手定则可知,该粒子带负电荷.粒子由A点射入,由C点飞出,其速度方向改变了90,则粒子
4、轨迹半径R =r又qvB=则粒子的比荷（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60角,故AD弧所对圆心角为60,如右图所示.粒子做圆周运动的半径R=rcot 30= r又R=所以B= B粒子在磁场中运行时间t=答案 （1）负电荷 （2）二带电粒子在平行直线边界磁场中的运动二带电粒子在平行直线边界磁场中的运动速度较小时，作半圆速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出； 速度增加为某临界值速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相动其轨迹与另一边界相 切；切；速度较大时粒子速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另作部分圆周运动后从另 一边界飞出一
5、边界飞出 SBPSSQPQQ速度较小时，作圆速度较小时，作圆 周运动通过射入点；周运动通过射入点； 速度增加为某临界速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界动其轨迹与另一边界 相切；相切；速度较大时速度较大时 粒子作部分圆周运动粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出后从另一边界飞出 圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上圆心在过入射点跟圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上边界垂直的直线上圆心在磁场圆心在磁场 原边界上原边界上量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P速度较小时，作圆弧速度较小时，作圆弧 运动后从原边界飞出；运
6、动后从原边界飞出； 速度增加为某临界值速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相动其轨迹与另一边界相 切；切；速度较大时粒子速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另作部分圆周运动后从另 一边界飞出一边界飞出 三带电粒子在矩形边界磁场中的运动三带电粒子在矩形边界磁场中的运动oBdabcB圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在圆心在 过入射过入射 点跟速点跟速 度方向度方向 垂直的垂直的 直线上直线上速度较小时粒子作半圆速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出； 速度在某一范围内时从侧速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；面边界飞出；速度较
7、大速度较大 时粒子作部分圆周运动从时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。对面边界飞出。速度较小时粒子做部分圆周运动速度较小时粒子做部分圆周运动 后从原边界飞出；后从原边界飞出；速度在某一范速度在某一范 围内从上侧面边界飞；围内从上侧面边界飞；速度较大速度较大 时粒子做部分圆周运动从右侧面边时粒子做部分圆周运动从右侧面边 界飞出；界飞出；速度更大时粒子做部分速度更大时粒子做部分 圆周运动从下侧面边界飞出。圆周运动从下侧面边界飞出。量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）例例4.4.如图所示，一足够长的矩形区域如图所示，一足够长的矩形区域abcdabcd内充满方内充满方 向垂直纸
8、面向里的、磁感应强度为向垂直纸面向里的、磁感应强度为B B的匀强磁场，在的匀强磁场，在 adad边中点边中点OO方向垂直磁场射入一速度方向跟方向垂直磁场射入一速度方向跟adad边夹边夹 角角=30=300 0、大小为、大小为v v0 0的带电粒子，已知粒子质量为的带电粒子，已知粒子质量为mm 、电量为电量为q q，abab边足够长，边足够长，adad边长为边长为L L，粒子的重力粒子的重力 不计。求：不计。求：. .粒子能从粒子能从abab边上射出磁场的边上射出磁场的v v0 0大小范大小范 围。围。. .如果带电粒子不受上述如果带电粒子不受上述v v0 0大小范围的限制，大小范围的限制， 求
9、粒子在磁场中运动的最长时间。求粒子在磁场中运动的最长时间。 V0OabcdV0Oabcd300600例例2 2如如图图, ,在一水平放置的平板在一水平放置的平板MNMN上方有匀强磁场上方有匀强磁场, ,磁感磁感 应强度的大小为应强度的大小为B,B,磁场方向垂直于纸面向里磁场方向垂直于纸面向里, ,许多质量为许多质量为 m,m,带电量为带电量为+q+q的粒子的粒子, ,以相同的速率以相同的速率v v沿位于纸面内的各沿位于纸面内的各 个方向个方向, ,由小孔由小孔OO射入磁场区域射入磁场区域, ,不计重力不计重力, ,不计粒子间的相不计粒子间的相 互影响互影响. .下列图中阴影部分表示带下列图中阴
10、影部分表示带 电粒子可能经过的区域电粒子可能经过的区域, ,其中其中R=R=mv/qBmv/qB. . 哪个图是正确的哪个图是正确的? ? MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.解：解： 带电量为带电量为+q+q的粒子的粒子, ,以相同的速率以相同的速率v v沿位于纸面内的各个方沿位于纸面内的各个方 向向, ,由小孔由小孔OO射入磁场区域射入磁场区域, ,由由R=R=mv/qBmv/qB, ,各个粒子在磁场中运动各个粒子在磁场中运动 的半径均相同的半径均相同, , 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以OO为圆心、以为圆
11、心、以 R=R=mv/qBmv/qB为半径的为半径的1/21/2圆弧上圆弧上, ,如图虚线示如图虚线示: :各粒子的运动轨迹如各粒子的运动轨迹如 图实线示图实线示: :带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示2RR2RMNO变式练习2 电子质量为m, 电荷量为e,从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限,射入时速度方向不同,速度大小均为v0,如图8所示.现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上,荧光屏与y轴平行,求:（1）荧光屏上光斑的长度.（2）所加磁场范围的最小面积.图8解析 （
12、1）如右图所示,求光斑的长度,关键是找到两个边界点沿弧OB运动到P,初速度方向沿y轴正方向的电子,初速度方向沿x轴正方向的电子,沿弧OC运动到Q.设粒子在磁场中运动的半径为R,由牛顿第二定律得:qv0B=m ,即R=从图中可以看出PQ=R=（2）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上,所加最小面积的磁场的边界是以O为圆心、坐标为（0,R）、半径为R的圆的一部分,如图中实线包围面积.所以磁场范围的最小面积S= R2+R2- R2=（ +1）（ ）2答案 （1）（2）（ +1）（ ）25.如图14所示,边长为L的等边三角形ABC为两个有界匀强磁场的理想边界,三角形内的磁场
13、方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,三角形外的磁场(足够大)方向垂直纸面向里,磁感应强度大小也为B.把粒子源放在顶点A处,它将沿A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v= 的负电粒子(粒子重力不计).求:图14(1)从A射出的粒子第一次到达C点所用时间为多少?(2)带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期.解析 (1)带电粒子垂直进入磁场,做匀速圆周运动qvB=T=将已知条件代入有r =L从A点到达C点的运动轨迹如图所示,可得tAC= TtAC=(2)带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第(1)问图所示.粒子通过圆弧从C点运动至B点的时间为tCB=带电粒子运动的周期为TABC=3(tA
14、C+tCB)解得TABC=答案 (1) (2)6.如图15所示,在直角坐标系的第象限和第象限中的直角三角形区域内,分布着磁感应强度均为B=5.010-2 T的匀强磁场,方向分别垂直纸面向外和向里.质量为m=6.6410-27 kg、电荷量为q=+3.210-19 C的粒子(不计 粒子重力),由静止开始经加速电压为U=1 205 V的电场(图中未画出)加速后,从坐标点M(-4, )处平行于x轴向右运动,并先后通过匀强磁场区域.图15(1)请你求出 粒子在磁场中的运动半径.(2)请你在图中画出 粒子从直线x=-4到直线x=4之间的运动轨迹,并在图中标明轨迹与直线x=4交点的坐标.(3)求出 粒子在
15、两个磁场区域偏转所用的总时间.解答 (1) 粒子在电场中被加速,由动能定理得qU= mv2粒子在磁场中偏转,由牛顿第二定律得qvB= 联立解得r= m= 10-1 m(2)如下图所示(3)带电粒子在磁场中的运动周期T=粒子在两个磁场中偏转的角度均为 ,在磁场中的运动总时间t=6.510-7 s反思总结返回 小结1.带电粒子进入有界磁场,运动 轨迹为一段弧线.2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹3.注意圆周运动中的有关对称规律:(2) 粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速 度与边界的夹角;(1) 在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出.O3rrO4rrO2rrO1rrOS一
16、朵梅花一朵梅花五带电粒子在五带电粒子在磁场中磁场中运动轨迹赏析O1O2O3Ld一把球拍一把球拍aaOxyvvP甲乙tB-B0B00T2T一条波浪一条波浪aaOxPvO1aaOxPvO1O3O2oABv0o1rrPQ一颗明星一颗明星aaBv0一幅窗帘一幅窗帘v0v0一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在 xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆 形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带 电粒子，由原点O开始运动，初速度为v， 方向沿x正方向。后来，粒子经过y上的P点 ，此时速度方向与y轴的夹角为30，P到O 的距离为L，如图所示。不计重力影响。求磁场的磁感应强度B的大小和 xy平面上磁场区域的半径R。30L xyOPv由几何关系知
