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1、第三章 模糊关系和模 糊逻辑推理北京科技大学自动化3.1 模糊关系关系:元素(同一集合或不同集合)或集合间的联系。关系可用“ ”来表示,“ ”可以是:大于、小于、在前 、在后、包含、相似等。若 与 间有关系 ,记为: 。反之,记为 。来仔细分析一下各种“关系”,看看还可以得到什 么结果。北京科技大学自动化3.1 模糊关系例:普通集合论中有“等价”关系。即: “等价”。若存在等价关系,则意味着其满足: (1) 自反性。 (2) 对称性。 ,则 。(3) 传递性。 ,且 ,则 。检验一下,若 “认识” 不等价。 (2)(3)不满足。 若 “同班” 若 “同龄” 不等价。 (3)不满足。满足。是等价
2、关系。北京科技大学自动化3.1 模糊关系验证的过程很轻而易举,这是由于上述各“关系”含义 清楚。(没有程度上的差异)而若 为“相似”、“相关”,则关系的含义比较模糊 。有程度上的差别,表现为一种模糊关系。模糊数学是用来处理具有模糊特征的事物的。因此, 看一下在模糊数学体系中,如何定义模糊关系(FR)?u直积(笛卡尔乘积)设有两个集合 , 和 的直积 定义为:北京科技大学自动化3.1 模糊关系它是由序偶 的全体所构成的二维论域上的集合。 一般地, u模糊关系 设 是集合 和 的直积,以 为论域定义的 模糊集合 , 称为 和 的模糊关系,也就是说, 对 中任一元素 ,都指定了它对 的隶属度 注意:
3、(1) 是用 来定义的,因此其特性也完全由来刻画。 是以x , y为自变量的一个空间曲面。即 定义了一个映射,北京科技大学自动化3.1 模糊关系(2) 当 , 皆为有限离散集合时,则 可以用矩 阵来表 示,称为模糊关系矩阵,即:再来看一个 的例子,体会一下 的数字和 实际意义。例:身高 ( ) = 1.40,1.50,1.60,1.70,1.80体重 ( ) = 40,50,60,70,80问:和 有关系 ,如:北京科技大学自动化40506070801.40 0.90.80.2001.50 0.80.90.80.201.60 0.20.80.90.80.21.70 00.20.80.90.91
4、.80 000.20.80.83.1 模糊关系是否有“比较胖”的含义?(沿每一高度分析sliced)关于体态的描述,单一变量没有意义或意义不完整。可以看出:(1) 建立了 和 间的关系 (可能 是比较胖)(2) 是一个空间曲面。 北京科技大学自动化3.1 模糊关系在模糊信息处理及控制中,常用如下定义的模糊关系:此处, 和 分别为相应论域(可以是 和 )上的 模糊集合。且:注意: 和直积 的区别。举例: :炉温, :炉压。 :炉温高, :炉压大。可以是:“炉温高且炉压大” “and”的关系 “炉温高则炉压大” 因果关系北京科技大学自动化3.1 模糊关系则若定义 ,有:例:在 和 的论域上,分别有
5、集合:北京科技大学自动化3.1 模糊关系“关系”在模糊信息处理中的作用: 根据已有知识建立关系。 根据新的输入和已有的关系,确定新的输出。即: 已知, 已知,求:解释: :温度高则压力大。:温度比较高。压力?北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理3.2 模糊逻辑推理是一个信息处理的过程,其作用类似于传统控制中的 控制器。数学 模型输入(数值)输出(数值)推理机制( 知识)输入 (事实) 命题输出 (结论)命题“计算”:处理的是数值。特点:数值变量,控制模型。“推理”:处理的是命题。一个例子:博士生发的论文 数不够北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理例: 推理题(处理的是命题间的关系)大前提(
6、知识,前提 1,Proposition 1) 6是偶数 小前提(事实,前提 2,Proposition 2) X是6结论 X是偶数。这种推理的特点:知识和事实清楚、确定,据此得到的结 论清楚、确定。但在实际中,知识和事实中的信息不精确、不完全,如:事 实本身就是模糊的,或含有模糊概念;知识不能覆盖所有情 况等。这时如何推理,如何判断和决策呢?用到不确定性推理方法。模糊逻辑推理是其中的一种。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理例:友好是一种对称关系(知识、大前提)小张和小李友好 (事实、小前提)小李和小张友好 (结论)“友好”是一个模糊概念,但事实中的“友好”和知识中的“友 好”完全相同确定性
7、推理。 例:大前提/知识: 健康则长寿 (有模糊词)小前提/事实: 王先生很健康 (不严格相同,有 程度上的差别) 结论 王先生似乎会很长寿 (有推断的成分)这是模糊推理。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理决定是否 F.L.R,并不看是否在前提和结论中使用了 模糊词(概念),而是看推理过程是否有模糊性,具 体表现在推理规则是不是模糊的。常用的模糊推理方法有两种:广义前向推理和广义 后向推理。形式化的重要性北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理广义前向推理(GMP) 前提1:如果x为A,则y为B 前提2:x为A结论 y为B 广义后向推理(GMT) 前提1:如果x为A,则y为B 前提2: y为
8、B 结论 x为A 其中:x是论域X中的语言变量(Linguistic variables)它的值是X中的模糊集合A,A y是论域Y中的语言变量它的值是Y中的模糊集合B,B 北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理注意:前提1是一条“IF-THEN-”形式的模糊规则。 “IF”部分是规则的前提,“THEN”部分是规 则的结论。若已知规则的前提来求结论 广义前向推理若已知规则的结论来求前提 广义后向推理秋冬雨雪多 来年冬小麦收成好,秋冬雨 雪较多 ?得了肝炎 GPT高, GPT不很高 肝炎?例:北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理在F.L.R中,我们还常用到一个Sup-Star推理合成规 则:若
9、R 为 X Y 中的 F.R.,并且 A 为 X 中的 F.S. , 那么Sup-Star 推理合成规则指示,由A引出的Y中 的F.S B为:这里 为A和R的Sup-Star合成。 如果算子表示取小操作,则退化为扎德推理合成规则。这个合成规则有什么用呢?北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理如我们前面举的“健康”的例子,所进行的推理是一种近似的 推理,可以一般性的表达为:大前提:如果x是A,则y是B 条件模糊命题小前提:现在x是A 条件模糊规则 结论: 那么y是B=?模糊关系R要用计算过程实现思维推理的作用。分析一下大前提:它是逻辑推理问题中的一个 条件模糊命题。北京科技大学自动化3.2 模糊
10、逻辑推理Fuzzy命题:“如果x为A,则y为B”令P:x为A;Q:y为B。则上述的模糊命题可简写为“如果P为真,则Q为真” ,表明 。即:普通模糊命题P,Q间有因果关系。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理模糊命题的真假程度称为模糊命题的真值。因为:在X论域讨论问题,有表示模糊集合A,B之间有蕴含(implication)关系。 由于A和B是不同论域上的F.S.,所以 可以用模糊 关系来描述。 这就知大前提也是一个F.R.。 小前提告知了A,则由Sup-Star规则:即:结论B可用A与由A到B的推理关系进行合成 而得到。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理我们逐渐接近了可以用计算过程进行这
11、样类似思维的 模糊推理了。要计算 用到了 (蕴含运算)有不同的含义:扎德定义玛达尼定义玛达尼定义简单,计算少,实际中应用较多。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理进一步的,根据Fuzzy Relation的合成定义 B是FS.,可以 mf. 表示,计算用 mf. 进行。i.e.其表明的是:其中 看成A对A的适配程度(i.e.隶属(程)度 )北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理上式写成这是用计算过程完成的推理。但这种模糊推理方法是否与人通过思维活动 得到的结果一致或相近呢?北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理现在的条件是“如果温度高,那么压力就大”,如何通过玛达尼模 糊推理方法在“温度较高
12、”的情况下得到推理结论呢?下面我们使用以上的推理方法来计算一下结果。例: 设在论域T(温度)=0,20,40,60,80,100和P(压力)= 1,2,3, 4,5,6,7上定义模糊子集的隶属函数:若根据经验可把“温度较高”的隶属函数定义为北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理先求出A对A的隶属度再用此去“切割”B隶属函数对比“压力大”的隶属函数,可以认为此式相当于是“压力较大”的隶属函数 。用xxxxxx表达,推理结论就是“压力较大”。这与我们平常的推理结果 相一致,说明这种模糊推理方法是一种实用的近似推理方法。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理我们把对问题的讨论扩展一下:多输入模糊推理
13、问题表述为: 知识: 如果 x是A且y是B, 则 z是C。 事实: 现在 x是A且y是B 结论: z是C与前述问题的差异在于,模糊规则的前提(前件)为多输入。其中:“x是A且y是B”的意义是A和B有“and”关系 (模糊关系) (这种定义比较保守,后面会讨论到)北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理因此: “如果x是A且y是B,则z是C”的(隶属度函数 )的数学表述为:利用 Mamdami定义有则推理结果(由Sup-Star合成规则)其中: 为前件的新输入为前件与后件问题的因果(蕴含)关系北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理而基于 的计算式为:x和y间不存在因果关系, 只存在“and”的关系就像单输入一样,分别计算A与A,B与B的适配度, 取小的一个作为总的推理前件的适配度,再去切割规则 后件的 。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理上述“AND”的处理方法比较保守不应“取小”,而应是某种“平均”更为合理。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理-多输入、多规则模糊推理问题的特点是:知识更丰富了。不仅知一条规则,而可以是 多条规则。 问题的表述:知识: IF x=A1, and y=B1, THEN z=C1ELSE IF x=A2, and y=B2, THEN z=C2ELSE IF x=An, and y=Bn, THEN z=Cn 事实: 现在 x=