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1、第三章 模糊关系和模 糊逻辑推理北京科技大学自动化3.1 模糊关系关系：元素（同一集合或不同集合）或集合间的联系。关系可用“ ”来表示，“ ”可以是：大于、小于、在前 、在后、包含、相似等。若 与 间有关系 ，记为： 。反之，记为 。来仔细分析一下各种“关系”，看看还可以得到什 么结果。北京科技大学自动化3.1 模糊关系例：普通集合论中有“等价”关系。即： “等价”。若存在等价关系，则意味着其满足： (1) 自反性。 (2) 对称性。 ，则 。(3) 传递性。 ，且 ，则 。检验一下，若 “认识” 不等价。 (2)(3)不满足。 若 “同班” 若 “同龄” 不等价。 (3)不满足。满足。是等价
2、关系。北京科技大学自动化3.1 模糊关系验证的过程很轻而易举，这是由于上述各“关系”含义 清楚。（没有程度上的差异）而若 为“相似”、“相关”，则关系的含义比较模糊 。有程度上的差别，表现为一种模糊关系。模糊数学是用来处理具有模糊特征的事物的。因此， 看一下在模糊数学体系中，如何定义模糊关系(FR)?u直积（笛卡尔乘积）设有两个集合 ， 和 的直积 定义为：北京科技大学自动化3.1 模糊关系它是由序偶 的全体所构成的二维论域上的集合。 一般地， u模糊关系 设 是集合 和 的直积，以 为论域定义的 模糊集合 ， 称为 和 的模糊关系，也就是说， 对 中任一元素 ，都指定了它对 的隶属度 注意：
3、(1) 是用 来定义的，因此其特性也完全由来刻画。 是以x , y为自变量的一个空间曲面。即 定义了一个映射，北京科技大学自动化3.1 模糊关系(2) 当 ， 皆为有限离散集合时，则 可以用矩 阵来表 示，称为模糊关系矩阵，即：再来看一个 的例子，体会一下 的数字和 实际意义。例：身高 ( ) = 1.40，1.50，1.60，1.70，1.80体重 ( ) = 40，50，60，70，80问：和 有关系 ，如：北京科技大学自动化40506070801.40 0.90.80.2001.50 0.80.90.80.201.60 0.20.80.90.80.21.70 00.20.80.90.91
4、.80 000.20.80.83.1 模糊关系是否有“比较胖”的含义？（沿每一高度分析sliced）关于体态的描述，单一变量没有意义或意义不完整。可以看出：(1) 建立了 和 间的关系 （可能 是比较胖）(2) 是一个空间曲面。 北京科技大学自动化3.1 模糊关系在模糊信息处理及控制中，常用如下定义的模糊关系：此处， 和 分别为相应论域（可以是 和 ）上的 模糊集合。且：注意： 和直积 的区别。举例： ：炉温， ：炉压。 ：炉温高， ：炉压大。可以是：“炉温高且炉压大” “and”的关系 “炉温高则炉压大” 因果关系北京科技大学自动化3.1 模糊关系则若定义 ，有：例：在 和 的论域上，分别有
5、集合：北京科技大学自动化3.1 模糊关系“关系”在模糊信息处理中的作用： 根据已有知识建立关系。 根据新的输入和已有的关系，确定新的输出。即： 已知， 已知，求：解释： ：温度高则压力大。：温度比较高。压力？北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理3.2 模糊逻辑推理是一个信息处理的过程，其作用类似于传统控制中的 控制器。数学 模型输入（数值）输出（数值）推理机制（ 知识）输入 （事实） 命题输出 （结论）命题“计算”：处理的是数值。特点：数值变量，控制模型。“推理”：处理的是命题。一个例子：博士生发的论文 数不够北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理例： 推理题（处理的是命题间的关系）大前提（
6、知识，前提 1，Proposition 1） 6是偶数 小前提（事实，前提 2，Proposition 2） X是6结论 X是偶数。这种推理的特点：知识和事实清楚、确定，据此得到的结 论清楚、确定。但在实际中，知识和事实中的信息不精确、不完全，如：事 实本身就是模糊的，或含有模糊概念；知识不能覆盖所有情 况等。这时如何推理，如何判断和决策呢？用到不确定性推理方法。模糊逻辑推理是其中的一种。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理例：友好是一种对称关系（知识、大前提）小张和小李友好 （事实、小前提）小李和小张友好 （结论）“友好”是一个模糊概念，但事实中的“友好”和知识中的“友 好”完全相同确定性
7、推理。 例：大前提/知识： 健康则长寿 （有模糊词）小前提/事实： 王先生很健康 （不严格相同，有 程度上的差别） 结论 王先生似乎会很长寿 （有推断的成分）这是模糊推理。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理决定是否 F.L.R，并不看是否在前提和结论中使用了 模糊词（概念），而是看推理过程是否有模糊性，具 体表现在推理规则是不是模糊的。常用的模糊推理方法有两种：广义前向推理和广义 后向推理。形式化的重要性北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理广义前向推理（GMP） 前提1：如果x为A，则y为B 前提2：x为A结论 y为B 广义后向推理（GMT） 前提1：如果x为A，则y为B 前提2： y为
8、B 结论 x为A 其中：x是论域X中的语言变量（Linguistic variables）它的值是X中的模糊集合A，A y是论域Y中的语言变量它的值是Y中的模糊集合B，B 北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理注意：前提1是一条“IF-THEN-”形式的模糊规则。 “IF”部分是规则的前提，“THEN”部分是规 则的结论。若已知规则的前提来求结论 广义前向推理若已知规则的结论来求前提 广义后向推理秋冬雨雪多 来年冬小麦收成好，秋冬雨 雪较多 ？得了肝炎 GPT高, GPT不很高 肝炎？例：北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理在F.L.R中，我们还常用到一个Sup-Star推理合成规 则：若
9、R 为 X Y 中的 F.R.，并且 A 为 X 中的 F.S. ， 那么Sup-Star 推理合成规则指示，由A引出的Y中 的F.S B为：这里 为A和R的Sup-Star合成。 如果算子表示取小操作，则退化为扎德推理合成规则。这个合成规则有什么用呢？北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理如我们前面举的“健康”的例子，所进行的推理是一种近似的 推理，可以一般性的表达为：大前提：如果x是A，则y是B 条件模糊命题小前提：现在x是A 条件模糊规则 结论： 那么y是B=?模糊关系R要用计算过程实现思维推理的作用。分析一下大前提：它是逻辑推理问题中的一个 条件模糊命题。北京科技大学自动化3.2 模糊
10、逻辑推理Fuzzy命题：“如果x为A，则y为B”令P：x为A；Q：y为B。则上述的模糊命题可简写为“如果P为真，则Q为真” ，表明 。即：普通模糊命题P，Q间有因果关系。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理模糊命题的真假程度称为模糊命题的真值。因为：在X论域讨论问题，有表示模糊集合A，B之间有蕴含(implication)关系。 由于A和B是不同论域上的F.S.，所以 可以用模糊 关系来描述。 这就知大前提也是一个F.R.。 小前提告知了A，则由Sup-Star规则：即：结论B可用A与由A到B的推理关系进行合成 而得到。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理我们逐渐接近了可以用计算过程进行这
11、样类似思维的 模糊推理了。要计算 用到了 （蕴含运算）有不同的含义：扎德定义玛达尼定义玛达尼定义简单，计算少，实际中应用较多。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理进一步的，根据Fuzzy Relation的合成定义 B是FS.，可以 mf. 表示，计算用 mf. 进行。i.e.其表明的是：其中 看成A对A的适配程度（i.e.隶属（程）度 ）北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理上式写成这是用计算过程完成的推理。但这种模糊推理方法是否与人通过思维活动 得到的结果一致或相近呢？北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理现在的条件是“如果温度高，那么压力就大”，如何通过玛达尼模 糊推理方法在“温度较高
12、”的情况下得到推理结论呢？下面我们使用以上的推理方法来计算一下结果。例： 设在论域T(温度)=0,20,40,60,80,100和P(压力)= 1,2,3, 4,5,6,7上定义模糊子集的隶属函数：若根据经验可把“温度较高”的隶属函数定义为北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理先求出A对A的隶属度再用此去“切割”B隶属函数对比“压力大”的隶属函数，可以认为此式相当于是“压力较大”的隶属函数 。用xxxxxx表达，推理结论就是“压力较大”。这与我们平常的推理结果 相一致，说明这种模糊推理方法是一种实用的近似推理方法。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理我们把对问题的讨论扩展一下：多输入模糊推理
13、问题表述为： 知识： 如果 x是A且y是B， 则 z是C。 事实： 现在 x是A且y是B 结论： z是C与前述问题的差异在于，模糊规则的前提（前件）为多输入。其中：“x是A且y是B”的意义是A和B有“and”关系 （模糊关系） （这种定义比较保守，后面会讨论到）北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理因此： “如果x是A且y是B，则z是C”的（隶属度函数 ）的数学表述为：利用 Mamdami定义有则推理结果（由Sup-Star合成规则）其中： 为前件的新输入为前件与后件问题的因果（蕴含）关系北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理而基于 的计算式为：x和y间不存在因果关系， 只存在“and”的关系就像单输入一样，分别计算A与A，B与B的适配度， 取小的一个作为总的推理前件的适配度，再去切割规则 后件的 。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理上述“AND”的处理方法比较保守不应“取小”，而应是某种“平均”更为合理。北京科技大学自动化3.2 模糊逻辑推理-多输入、多规则模糊推理问题的特点是：知识更丰富了。不仅知一条规则，而可以是 多条规则。 问题的表述：知识： IF x=A1, and y=B1, THEN z=C1ELSE IF x=A2, and y=B2, THEN z=C2ELSE IF x=An, and y=Bn, THEN z=Cn 事实： 现在 x=
