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1、上页下页结束返回首页4.2 换元积分法0第一类换元法 0第二类换元法上页下页结束返回首页问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法换元换元以后再还原求导数验证结果上页下页结束返回首页例1 求解（一）解（二）解（三）上页下页结束返回首页在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理上页下页结束返回首页第一类换元公式（凑微分法）说明 使用此公式的关键在于将定理1难易P191上页下页结束返回首页例2 求解一般地P195-2上页下页结束返回首页原式例3 求解一般地，有上页下页结束返回首页原式一般地，有例4 求解原式上页下页结束返回首页原式一般地，有一般地，有例5 求例6 求上页下
2、页结束返回首页一般地，有所以类似地例7 求P197-13上页下页结束返回首页所以例8 求解P196-6上页下页结束返回首页例9 求上页下页结束返回首页所以例10 求P196-7上页下页结束返回首页对被积函数进行恒等变形，再使用换元积分法的例：由于解所以例11 求P196-8上页下页结束返回首页所以类似地上页下页结束返回首页以上施行的是将分子加项减项的恒等变形； 也可将被积函数同乘、同除一个函数，化为容易 积分的形式. 请看下例：例12 求上页下页结束返回首页下面再举一些含三角函数的积分的例子，有时需 要先用三角公式作恒等变形，化成容易积分的形式。 常用的三角公式有：同角公式：积化和差：上页下页
3、结束返回首页倍角公式：上页下页结束返回首页（由公式）所以类似地例13 求P199-19上页下页结束返回首页特殊类型三角函数的积分：1. 形如积化和差.例14 求P199-20上页下页结束返回首页2. 形如(1) m，n中有一个为奇数：(2) m, n均为正偶数： 降幂特殊类型三角函数的积分：1. 形如积化和差.上页下页结束返回首页例15 求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.上页下页结束返回首页例16 求解上页下页结束返回首页又如上页下页结束返回首页3. 形如(m,n为正整数) (1) m为奇数时(2) n为偶数时(m为偶数且n为奇数时，可用分部积分法)2. 形如特殊类型三角
4、函数的积分：1. 形如积化和差.上页下页结束返回首页解例17 求P198-17上页下页结束返回首页解例18 求P198-16上页下页结束返回首页例19 求解其它类型的积分：上页下页结束返回首页例20 求解上页下页结束返回首页例21 求解上页下页结束返回首页例22 求原式上页下页结束返回首页例23 求解上页下页结束返回首页例24 求解上页下页结束返回首页解例25 设 求 .令上页下页结束返回首页第一类换元法(不易求积)(易求积)相反的情况(不易求积)(易求积)这就是第二类换元法.二、第二类换元法上页下页结束返回首页问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令再用“凑微分”难易上页下页结束返回首页定
5、理2 (第二类换元法 ) 设 单调，有 连续导数，又 若则(1)(2)证明（略）上页下页结束返回首页例26 求解 令P202-22上页下页结束返回首页例27 求解 令上页下页结束返回首页例28 求解 令P202-23定理2上页下页结束返回首页说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令上页下页结束返回首页积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需 根据被积函数的情况来定.说明(2)例29 求（三角代换很繁琐）令解上页下页结束返回首页例30 求解 令上页下页结束返回首页说明(3)设分子、分母关于x的最高
6、次数, 当分母的阶较高时，可采用倒代换：例31 求令解上页下页结束返回首页例32 求解令上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页说明(4) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （ 其中 为各根指数的最小公倍数） 例33 求解令上页下页结束返回首页基 本 积 分 表上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页思考题求积分思考题解答上页下页结束返回首页w作业P207：2- 16，18，19，20，21，22，25，30，32， 33，34，35，37，38，39上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页w205：2-1，3，5，9，11-27上页下页结束返回首页小 结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)上页下页结束返回首页将(2)式右端求导，同时注意到(1)式，得(2)式得证.定理2 (第二类换元法 ) 设 单调，有 连续导数，又 若则(1)(2)证上页下页结束返回首页第二类积分换元公式上页下页结束返回首页练 习 题上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页练习题答案上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页
