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1、2 2 一元元函数积分学函数积分学5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线 7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线 13 阿基米德螺线 14 双曲螺线主主 目目 录录（125 125 ）15162 31 曲边梯形的面积4 曲边扇形的面积19 平行截面面积为已知的立体的体积。20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。22 旋转体体积(y =f(x)绕x轴) 23 旋转体体积(x =g(y)绕y轴） 24 旋转体体积（柱壳法
2、） 25 旋转体的侧面积1817求由双纽线 内部的面积。.元素法元素法1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整yxoy=f (x)ab.分法越细，越接近精确值1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积f (i).元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f (i)元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)令分法无限变细.分法越细，越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f (i)S =.S.ab2。0y x2.4
3、44解方程组：得交点：(8, 4)， (2,2)问题：选谁为积分变量？。3.xyo33得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为。S =l1l2( )do +dr =( )元素法元素法1 取极角为积分变量，其变化区间为,以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：.4. 曲边扇形的面积曲边扇形的面积dSS3 作定积分.rxa圆上任一点所画出的曲线。5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，x来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，5. 旋轮线2a2a0yxax = a (t sint) y = a (1 cost)t 的几何意义如图示ta当 t 从 0 2，x从 0
4、 2a即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。5. 旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，x=a (t sint) y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板6. 旋轮线也叫摆线单摆单摆x=a (t sint) y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.单摆单摆6. 旋轮线也叫摆线单摆单摆.6. 旋轮线也叫摆线 x=a (t sint) y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。单摆单摆.6. 旋轮线也叫摆线 x=a (t sint) y=a
5、 (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板x=a (t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)7. 旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？x=a (t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost).生活中见过这条曲线吗？7. 旋轮线是最速降线x=a (t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质
6、点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？7. 旋轮线是最速降线.x=a (t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？滑板的轨道就是这条曲线7. 旋轮线是最速降线.xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。8. 心形线 (圆外旋轮线)xyoa来看动点的慢动作一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
7、.8. 心形线 (圆外旋轮线)axyoaa 2a来看动点的慢动作一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。.(圆外旋轮线)8. 心形线xyo2ar = a (1+cos )0 20 r 2aPr一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。.(圆外旋轮线)8. 心形线xyoa a一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。9. 星形线 (圆内旋轮线)xyoa a来看动点的慢动作一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。.9. 星形线 (圆内旋轮线)xyoa a一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画
8、出的曲线。来看动点的慢动作.9. 星形线 (圆内旋轮线)xyoa a0 2或.P.一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。.9. 星形线 (圆内旋轮线)0xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆的渐伸线a0xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹.a10. 圆的渐伸线再看一遍0xy.a一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆的渐伸线0xy.a一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆的渐伸线a0xMttaat(x,y)0xy试由这些关系推出曲线的方程.一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆的渐
9、伸线1. 曲线关于 y= x 对称2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0分析3. 令 y = t x, 得参数式故在原点，曲线自身相交.11.狄狄卡儿叶叶形线4.0xyx+y+a = 0曲线关于 y= x 对称曲线有渐近线 x+y+a=0.11.狄狄卡儿叶叶形线0xyPr . . . . . . . . . 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =. . . . .距离之积为a2的点的轨迹直角系方程12. 双纽纽线0xy.所围面积. . .由对称性.12. 例 求求双纽线双纽线0rr =a曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线13. 阿基
10、米德螺线0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线.13. 阿基米德螺线r =a0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线再看一遍请问：动点的轨迹什么样？.13. 阿基米德螺线r =a0r.13. 阿基米德螺线r =a0rr =a.13. 阿基米德螺线0rr =a.13. 阿基米德螺线r这里 从 0 +8r =a02a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.13. 阿基米德螺线0r8当 从 0 r =a.13. 阿基米德螺线r0.这里 从 0 +8a. .14. 双曲螺线r0.当 从 0
11、8a.14. 双曲螺线xyo15.2. .S = =1+cos3r =3cos由 3cos =1+cos 得交点的坐标S S2. . . . . .16.10xy 令 cos2 = 0,由 sin 0,联立后得交点坐标. . .S = 2 .xyo17.1s1s2. . . . . .sS = =1+cos求由双纽线0xy. . . .由对称性.18.a内部的面积。双纽线化成极坐标令 r = 0,S = 4+.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为 A(x)的立体.aV以下是几个例子以下是几个例子19. 平行截面面积为已知的立体的体积b半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的
12、 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。Roxy20.oyRxRR20.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。oyRxxyRR. . . .y tan 问题：问题： 还有别的方法吗？还有别的方法吗？(x, y),截面积A(x).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。20.oyRxRR方法方法2 2.20. 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。oyRxRR方法方法2 2ABCDBCDC. .截面积S(y)(x, y)= 2x= ytan.S(y).20. 半径为R的正圆
13、柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。hRxoyR21. 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。hRxoxA(x)A(x)V =. . . .Ry21.求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。yxf(x)ab曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转22. 求旋转体体积xf(x)abx.111111111.曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转22. 求旋转体体积V =x=g(y)yx 0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕
14、 y轴23. 求旋转体体积x=g(y)yx 0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴.23. 求旋转体体积x=g(y)yx 0cdy.23. 求旋转体体积.曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴abf (x)yx024. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴xdxxabyx0内表面积.dx.24. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)byx0a.24. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x
15、) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)byx0a.24. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)0y0xbxadx.24. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)f (x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴24. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法dV=2 x f (x)dxx=g(y)yx 0cdx= g (y)绕 y 轴旋转25. 求旋转体侧面积Ax=g(y)yx 0cdx= g (y)绕 y 轴旋转ydA=2 g(y)ds. (ds是曲线的弧微分).故旋转体侧面积25. 求旋转体侧面积Ads谢谢使用谢谢使用返回首页返回首页.
