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1、第十四章 格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的 一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初 始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计 算出任意源所产生的场 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一 14.1 格林公式上具有连续一阶导数, 在区域 及其边界 和 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理(14.1.1) 单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量单位时间内V内各源头产生的流体的总量将对曲面 的积分化为体积分 (14.1.2)以上用到公式称上式为第一格林公式同理有 (14.1.3) 上述两式相减得到 表示沿边界 的外法向偏导数称式
2、（14.1.4）为第二格林公式进一步改写为（14.1.4） 14.2 泊松方程的格林函数法讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题 泊松方程 (14.2.1) 边值条件 （14.2.2） 是区域边界 上给定的函数. 是第一、第二、第三类边界条件的统一描述 典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题 (14.2.3)表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数 1.格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解定解问题（14.2.3），我们必须定义 一个与此定解问题相应的格林函数 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件： （14.2.4） 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为 （14
3、.2.4）式中函数前取负负号是为为了以后构建格林函数方便格林函数的物理意义【2】：在物体内部（内） 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 格林函数由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数 格林函数互易定理： 因为格林函数 代表 处的脉冲（或点源）在 处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离 的函数, 故它应该遵守如下的互易定理：（14.2.5） 根据格林公式（14.1.4） 令得到 （14.2.6） 即为为(14.2.7)根据函数性质质有： (14.2.8)故有(14.2.9)称式(14
4、.2.9)为泊松方程的基本积分公式 格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到 （14.2.10） 解的基本思想：通过上面解的形式（14.2.9）我们容易观 察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程 (14.2.1)与任意边值问题（14.2.2）所构成的定解问题转化为求解 一个特定的边值问题（14.2.4）. 一般后者的解容易求得，通（ 14.2.9）即可求出（14.2.1）和（14.2.2）定解问题的解 考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下： 1.第一类边值问题：（14.2.11） 相应应的格林函数是下列问题问题 的解：（14.2.12）考虑虑到格林函数的齐齐次边边界条件
5、，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解（14.2.13）另一形式的第一类边值问题的解(14.2.14)2.第二类边值问题相应应的格林函数是下列问题问题 的解：（14.2.15）（14.2.16）由公式（14.2.9）可得第二类边值问题解（14.2.17） 3.第三类边值问题相应应的格林函数是下列问题问题 的解：（14.2.18）（14.2.19） （14.2.18）的边值边值 条件，两边边同乘以格林函数（14.2.19）的边值边值 条件的两边边同乘以函数得 相减得到代入（14.2.9）得到第三类边值问题类边值问题 的解(14.2.20) 利用格林函数的互易性则得到 (14.2.21)
6、 这就是第三边值问题解的积分表示式右边第一个积分表示区域 中分布的源 在点产产生的场场的总总和. 第二个积积分则则代表边边界上的状况对对点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场 对于拉普拉斯方程 第一边值问题的解为(14.2.22)第三边值问题的解为(14.2.23)14.3 无界空间的格林函数 基本解无界区域这种情形公式（14.2.10）中的面积分应为零，故有 (14.3.1) 选选取和分别满别满 足下列方程 (14.3.2) (14.3.3) 14.3.1 三维球对称对于三维球对称情形，我们选取 对（14.3.3）式两边在球内积
7、分 （14.3.4）（14.3.5 ）利用高斯定理（14.1.1）得到 (14.3.6)故有使上式恒成立，有因此，,故得到 对对于三维维无界球对对称情形的格林函数可以选选取为为（14.3.7） 代入 （14.3.1）得到三维维无界区域问题问题 的解为为（14.3.8） 上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式 14.3.2 二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即因为由于 只是垂直于轴轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即 选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果 令积积分常数为为0，得到 因此二维轴对维轴对 称情形的格
8、林函数为为（14.3.9）将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维维无界区域的解为为14.4 用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 定义 14.4.1 电像法 考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点对对于第一类边值问题类边值问题，其格林函数可定义为义为 下列定解问题问题 的解（14.4.1）为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点 （或对称点）放置一个合适的负电荷，这样
9、才能使这两个电 荷在界面上产生的电势之和为零 这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法） 14.4.1 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建 拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在 处放置一正单位点电荷 则虚设的负单位点电荷应该在 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分布 也就是本问题的格林函数，即为 （14.4.2） 据上述物理模型可求解下列定解问题例14.6.1 定解问题： 【解】 根据第一边值问题，构建的格林函数满足 处处放置于一个正和一个负负的点电电荷（或点源） 构建格林函数为为边界外法线方向为负轴轴，故有 代入到拉普
10、拉斯第一边值问题边值问题 解的公式（14.2. 13），拉普拉 斯方程的自由项项,则则由得(14.4.3)或代入拉普拉斯方程的第一边值问题边值问题 的解公式（14.2.22）得到(14.4.4)公式（14.4.3）或（14.4.4）称为上半平面的拉普拉斯积分公式2 . 泊松方程的第一边值问题求解 例14.6.2 定解问题： 根据第一类边值问题的解公式(14.2.14)得到（14.4.5）根据半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)式，得到 (14.4.6) 因为边为边 界上的法线为负线为负 y轴轴， 故(14.4.7)将（14.4.6）和(14.4.7)代入（14.4.5）得到泊松方
11、程在半平面区 域第一边值问题边值问题 的解14.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物理模型: 例14.4.3 在上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题边值问题 【解】构建格林函数满满足根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为(14.4.8) 即有 为为了把代入拉普拉斯第一边值问题边值问题 的解的公式（14.2.22），需要先计算即为为代入 （14.2.22）即得到 这这公式叫作半空间的拉普拉斯积分（14.4.9）14.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型【2】：在圆内任找一点 放置一个单位根据图图14.2，这这两线电线电 荷在圆圆内任一观观察点所产产生的电势电势
12、 为为当观观察点位于圆圆周上时时，应该应该 有，即满满足第一类齐类齐 次边值边值 条件 , 即为为上式应对应对 任何值值成立，所以上式对对的导导数应为应为 零，即即得到要求上式对对任意的值值要成立，故提供了确定的方程联联立解得 于是圆圆形区域的第一类边值问题类边值问题 的格林函数为为（14.4.10） 即为为(14.4.11).其中例14.4.4 求解如下泊松方程定解问题 根据第一类边值问题解的公式 (14.2.14)，并取沿垂直于 圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分， 原来的面积分化为线积分故得到 根据构建的圆圆内第一边值问题边值问题 的格林函数（14.4.11） （14.4.12）代入得到圆圆内第一边值问题边值问题 的解为为(14.4.13)例14.4.5 在圆内求解拉普拉斯方程的第一边值问题边值问题 【解】根据公式（14.4.14），故有（14.4.14）
