最优消费和投资离散时间

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1、第8章 最优消费和投资：离散时间基本分析框架n典型消费者个人将生存一段时期0,T，他会有一 个大于0 的初始财富或者说资源禀赋W(0) ；在生 存过程中，他会获得一些非资本（non-capital） 收入(t) （例如工资）；在生存的每一天中，他 必须决定把可供支配的财富（资源），用于当前 消费C 和投资积累I 上（投资将提供下一时刻的资 本收入）；在最后时刻留下一部分遗产W(T ) 给 后人。这时，两个基本选择问题，即消费多少（ 也就是投资多少）和如何投资（资产组合），必 须同时被决定。消费者这种不断的选择行为的目 的就是使得他们终身效用最大化。目标函数n其中T 是投资者的寿命；C(t) 是

2、 投资者年龄为t 时选择的消费数 量；W (t) 是t 时刻的财富（或 者遗产）；Et (.) t是基于t 时刻 所有已经揭示出的信息的条件 期望算子。UtC (t), t 是效用函 数，在整个定义域内，它被假 定是单调递增和凹的；U2W（ T），T 是基于期末财富或者说 遗产的效用函数（bequest valuation function），它也是单 调递增和凹的。约束条件其中 就是非资本收入，广 义上I 泛指各种投资，但这 里实际上仅仅包括对市场上 可交易的有价证券的投资。 经济体系中的风险， 就源自 于非资本收入和投资机会集 合（investment opportunity set）（也

3、即资本收入）的不 确定性。最优消费/投资决策：离散时间n所谓随机最优控制，就是试图在一个由随机因素驱动的成 长路径上，通过采用适当的策略来最优化目标函数。这里 的消费多少和如何投资，就是由投资者决定的控制变量（ controlled variable ）或者说决策（decision），通过一系 列遵循某种原则的最优的决策，即最优策略（policy）， 个人可以得到最大的效用满足。这里的原则，指的就是贝 尔曼（Bellman R.）最优化原则（principle of optimality） ：n“一个最优策略有这样的特征：无论初始状态和初始决策 是什么，余下的决策在考虑到第一个决策导致的状态的

4、影 响下，都必须是最优的策略。”n简单地说，这就意味着任何最优过程的最后一段过程必定 是最优的。这一原则将在后面的分析中一再的出现。简化的例子n假定：n（1）典型个人生存两个时期，他可以在两个时点 上，即t = 0 、1上做决策（ t = 3时，他就死亡了 ）；他被赋予一定量的初始资源W(0) 0 。n（2）理想化的资本市场上存在两种资产。一种是 无风险的现金或者债券，它的价格在任何时刻都 没有变化，始终为1；另一种是有风险的股票，它 的价格过程假定由以下二项树描绘股票价格运动的二项树模型简单地说，它表示在每 一时点上，股票价格要 么以4/9 的概率上涨一倍 ，要么以（1-4/9）的概 率下跌

5、一半。用w(0) 和 w(1) 表示该投资者在0、 1 时刻上，投资于风险资 产（股票）上的财富分 额。n（3）投资者的非资本收入为0，效用函数 具有以下特定形式：nU (x) = n（4）为了简化分析，假定投资者也不进行 任何消费，这样最优决策的惟一目标就是 最大化他来自最终财富的期望效用。n目前的任务就是找到 最优的投资决策变量 （最优控制） w(0) 和 w(1) ，使以上最优化 问题得以解决。模型求解n“向前”推导的方法：即从t = 0 时刻开始，事先决 定一个策略w(0) ，但它是不是最优还不清楚。根 据w(0) ，我们仅仅能够知道t =1时刻的期望财富 水平的函数表达式，但是最大化

6、这个函数得到的“ 最优的”w(0) ，并不一定是最优决策过程w(0), w(1)的必然组成部分，除非可以明确地知道在所 有不同情况状态下的w(1) ，并且它是惟一的。因 此向前推导的方法是行不通的。n逆向归纳法：从倒数第一期，即T -1期开始 。这就是说，我们必须获得t = 1时期，股 票价格在p = 200或者p = 50 两种情况下的 最优投资比例，这是一个单期静态优化问 题。一旦获得了t =1时的相应结果w(1) 和 W(1) ，就可以按照同样的结构，进一步推 测t = 0时刻的最优投资比例，从而一层层 地逐步解决了问题。n第一步： t = 1时刻n假定此时的财富W(1) 为任意一正数（

7、它是 由上一期t = 0 时的最优决策所产生的）。 投资到股票上的财富比例为w(1) ，则投向 无风险资产上的就是1- w(1) 。我们来计算 最后的t = 2 时刻，积累的财富的期望效用 是多少。先考虑当股票价格p = 200时的情 形，根据二项树模型：n为了找到最优投资比例w(1) ，只要对f w(1)求导，并令一阶导数等于0 就可以了 ，容易得到：n再考察当股票价格p = 50 时的情形， 我们发现仍 旧可以使用上式。因为 依然表示股票价格上涨一倍的情况下，投资在两种 资产上，给投资者带来的期末财富的期望效用； 而 则是投资机会相对较差时，期末财富的效用水平。 所以最优解还是w(1) =

8、13 /19 ，因此这个最优投 资比例决策独立于1 时刻股票价格和财富的绝对 水平。n第二步： t = 0 时刻n根据上面的推理，我们只要知道1 时刻的财 富水平W(1) ，就可以知道最终财富的期望 效用水平是多少，而1 时期的财富水平 W(1) ，也是由同第一步类似的决策过程所 决定的，即：n同样对f w(0)求导数，并令一阶导数等于0，得到 最优化条件还是：w(0) = 13 /19 。因此最优投资 决策方案就是：nw(0) =13 /19, w(1) = 13/19n尽管实际的问题要比这个简单的例子复杂得多， 但从上述求解过程中，仍然可以归纳出最优个人 消费/投资决策的动态规划解法的最显

9、著特征 即它是向后追溯的。而这正是贝尔曼最优化原理 的体现。一般情形n现在考察多期离散时间情况下，个人最优 消费/投资决策问题的标准建模方法和它的 一般解法。n假定：（1）有限生命。典型个人生存一段时期 , 0 ,T ，他可以在t=0,1,2,T-1 这些离散的 时点上做决策；他被赋予一定量的初始资 源， W ( 0 ) 0 。（2）单一消费品。只有一种用于当期消费 的易腐消费品。它不可以储藏，暂时不考 虑它是如何生产出来的。（3）资产价格运动。理想化的资本市场上存在n+1 种资 产，第0 种资产是无风险的债券，它的单位时间总收益率 为R f ；其他n 种都是风险资产，它们的总收益率定义为：R

10、i (t)是由外部经济环境外生决定的。外生经济环境用状态变 量 S (t )来表示。目前假定存在m 个状态变量，而且基于 当前状态 S (t )的：均具有马尔可夫性质（Markov property）。基于上面的假定，最优消费和投资问题为：根据动态规划原则，从倒数第一期开始解，这样它就变成了 熟悉的单期问题：n先引入T-1 时刻的价值函数（valuation function）JW(T-1),T-1 ，即n最优化的一阶条件：n根据上式中的第二个一阶条件，第一个一 阶条件又可以表示为：如果用T-1 期的价值函数（2-6）式对W 做微分（使用连锁法则 和导数基本运算法则），就有：n它的经济学含义就

11、是：在消费者均衡时，当期消 费的边际效用就等于财富（未来消费）的边际效 用。当期消费与投资比例的选择既影响生活质量 U1（C） ，也影响投资预算基金的数量。当前每 增加一单位的消费就减少可投资的财富，因而获 得时际最优的标准条件就是消费的边际效用等于财富的边际效用。 而且根据上式容易知道，因为 U CC 0，所以有 J WW 0 ，因此J 是财富的严格凹函数。n可以继续对倒数第二期做类似的工作，这 时的价值函数为：n把这一个重复（recursive）过程递推到T-3 、T-4 ， t 时期。根据最优化原理，在t 期价值函数的一般形式是：n类似地可以获得n + 1 个一般最优化条件（ gener

12、al optimality condition）：n把它们代入价值函数并求解，就可以得出JW(t),t 。如此这般反复，叠代到最后的0时期，问题就彻 底解决了。n回顾前一章中的静态问题，可以发现在静态模型 中，个人以最大化期末财富为惟一目标，效用函 数是外生的，且仅仅包含期末财富这一个变量（ 如最大化二次效用，进而导出均方原则）。而在 跨期模型中的（期间）财富的效用函数是内生、 引至的。不仅如此，它还取决于状态变量S(t) 。特殊形式的效用函数:对数效用函数n效用函数n根据（2-6）式,T-1 时期的价值函数就是：注意上面的T-1 是指T-1 到T 这一个时间段；而且 以上W 、 w *和 C

13、 *均为T-1 时期的数值，化简得n结论1：我们看到在对数效用函数这样一个特例中 ，最优消费水平是独立于资产收益条件（投资机 会）的，消费随着财富水平的增加而递增，随着 贴现因子的增加而减少。如果消费者时间偏好为0 ，即=1 ，这就是说投资者对于同等数量的当前 消费和未来消费是无差异的。则他会把财富的一 半用于当期消费，而另一半作为投资（或者遗产 ）。如果他有正的时间偏好，即1 ，则他会消 费得更多一些。n结论2：最优资产组合比例：根据（2-7）式提供的第二个 一阶最优条件，把函数的具体形式代入，就有：n（2-17）或者（2-19）式中的问题隐含着 的最优资产组合解，它们同单期静态模型 中具有

14、对数效用的个人面临的问题是一样 的。换句话说，最优资产组合决策是独立 于财富水平和消费决策的。n为了决定再早一期的最优策略，还必须知 道价值函数 J W( T - 1) 。这可以通过对 包络条件：由（2-5）式得：对倒数第二期做分析，会得到同上式形式相似的结果，价值函数（也即引至 效用函数）也是对数形式的。实际上这可以推广到任意时刻。n证明：假定第t+1 期的价值函数采用下面的 形式：n它表明F(t) 通过F(t+1)而依赖于未来投资机 会集，但是它并不影响最优资产组合。因 为最优资产组合仅仅取决于J W ，而J W却 不受F 的影响。根据t 时期的第二个一阶条件可以得 到最优资产组合：n可以

15、证明，这同单期中具有对数效用最优化者的 资产组合问题的解是一样的。因此我们看到在伯 努利对数效用这一（惟一）特例中，最优决策具 有双重的分离性质：（1）消费水平独立于金融变量而仅仅取决于当前 财富水平；（2）资产选择是一个严格的静态问题，与未来投 资机会无关。n这实际上是对数效用函数的常相对风险厌恶特征 的一种体现。特殊形式的效用函数:幂效用函数n结论1：容易发现在指数效用函数这样一个 特例中，消费水平是依赖于投资机会集合 的。n结论2：资产组合方面，根据第二个一阶条 件，可得：n如同前面对数效用函数的例子，最后一期 的最优资产组合比例仍然是独立于消费/储 蓄决策的。同样对于包络条件n显然它也取决于未来投资机会集。尽管式 （2-44）可以视为一个单期问题，但是必 须注意，同前面对数效用的例子不同，这 里期末财富的效用函数是状态依存的，它 的边际效用同 成比例，而后者依赖T-1时 期可以得到的收益率。