--辐射探测中的概率统计问题

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1、第七章第七章 辐射探测中的辐射探测中的 概率统计问题概率统计问题统计性是微观世界的属性之一。放射性原子核的衰 变、辐射微观粒子的探测、辐射探测器接受入射粒子并 产生输出信号等都是一个随机过程随机过程。这些粒子数、输出 信号的电荷量、信号出现的时刻等是一个涨落涨落的随机变随机变 量量，这样辐射测量所得到的数据数据也都是涨落的，要从这 些数据推导出结论，就必须用概率论与数理统计概率论与数理统计的方法 处理。1、可用于检验一台核计数装置的功能和状态 是否正常；计数统计学的意义可归结为两个方面：2、在处理只有一次或极为有限的测量中，可 用计数统计学来预测其固有的统计不确定性，从 而估计该单次测量应有的

2、精密度精密度。7.1 概率论基础知识随机试验：随机事件：随机变量：一定条件下的每次观察。每次随机试验的各种结果。样本：N次测量中随机变量的取值构成代表随机事件的数量概率：描述在某种随机试验的各个随机 事件出现的可能性。出现事件A的次数总试验次数事件A发生的概率实验的平均值：随机变量可分为两种 离散型随机变量 可取值是有限个或“可列个”分立 的数值。该类型随机变量用表示， 其可取值用 表示。连续型随机变量 可取值是整个数轴或某一区间内的 所有数值。连续型随机变量及其可 取值则用 和 表示。有一类特殊的随机试验，其试验 结果只有两个，非此即彼。它的随机 变量的可取值只有两个：“0”和 “1”。这类

3、随机试验称为“伯努利试 验”。把正事件（即随机变量取“1”）发 生的概率定义为 p，则正事件不发生（ 即随机变量取“0”）的概率为 q=1-p 。1.随机变量的分布函数与数字表征要确知某一随机变量，就需要不 仅知道这随机变量的所有各个可取值可取值 ，而且还要知道与各可取值相应的概相应的概 率率。概率论中，用概率函数概率函数和分布函数分布函数 来描述随机变量的这一特性。(1) 随机变量的一般特征及定义连续型随机变量 离散型随机变量 可取值分布函数概率函数概率密度函数相互关系 归一性(2) 随机变量的数字表征对服从任一种分布的随机变量，有两个最 重要的数字特征。 数学期望值： （简称期望值，在物理

4、中也称平均值 ，常用 表示） ，它表示随机变量取值的平均位置。 均方偏差： （简称方差），它表示随机变量的取值相对于期望 值的离散程度。 其开根值称均方根偏差，常用表示。即：数学期望值（平均值）对离散型随机变量 对连续型随机变量 将若干次实验中随机变量所取的数值 加在一起，再用实验次数除后，得到算术 平均值。当实验次数无限增加时，算术平 均值将无限的接近数学期望。 均方偏差（方差） 对离散型随机变量 ： 对连续型随机变量 ： 方差的意义：代表了随机变量各个可取 值相对于平均值的离散程度。方差小则代表 随机变量在各次实验中所取得的数值越集中 的分布在平均值附近，方差大则表示分布得 越分散。均方根

5、偏差 对离散型随机变量 ： 对连续型随机变量 ： 相对均方偏差 对离散型随机变量 ： 对连续型随机变量 ： 相对均方根偏差 对离散型随机变量 ： 对连续型随机变量 ： 方差或均方根偏差代表了随机变量可取值相对于 平均值的离散程度；相对方差或相对均方根偏差则代表了测量精度。(3) 一些相似概念区分(A)误差(error)和偏差(deviation)偏差：误差：N次测量平均值 真值 当真值未知的情况下，一般以偏差代替误差。 (B) 准确度精确度测量值与被测对象真值的一致程度。一次测量的可重复性或可靠性。accuracyprecision 准确度：精确度：可用测量的平均值与真值的差描述。可用测量的均

6、方偏差描述。(C) 系统误差偶然误差系统误差：在同一条件下，多次测量同一物 理量，测量值误差的大小和符号保持恒定。产生原因：仪器本身不精确、或实验方 法粗略、或实验原理不完善而产生的。特点：在多次重做同一实验时，误差总是 同样地偏大或偏小，不会出现这几次偏大 而另几次偏小的情况。 要减小系统误差，必须提高测量仪器的精 度，改进实验方法，设计在原理上更为完 善的实验。 偶然误差：在同一条件下，多次测量同 一物理量，测量值误差的大小和符号随机变 化。也叫随机误差。2）是绝对存在且不可避免的 。产生原因：由各种偶然因素对实验者、测 量仪器、被测物理量的影响而产生的。 特点：1）有时偏大有时偏小，并且

7、偏大 和偏小的机会相同；可以多进行几次测量来减小偶然误差。 各次测得的数值的平均值就比一次测得 的数值更接近于真实值。在核辐射测量中，偶然误差偶然误差是一项主要 的误差，产生的原因有两个：一是核事件的随机性产生的统计误差统计误差； 二是测量仪器在正常工作条件下的测量误差测量误差。统计误差统计误差是一种特殊的偶然误差偶然误差， 是由微观世界的随机性所决定的。系统误差系统误差影响系统的准确度准确度，偶然误差偶然误差影响系统的精确度精确度。2.几种常用的统计模型 (1) 二项式分布二项式分布是支配偶然事件的最通用的概率 分布，广泛应用于所有概率p恒定的过程。设一随机试验条件组为：作 次独立试验，每

8、次试验中要么发生 事件，要么不发生，且 事件发生的概率为 ，不发生的概率为 。 定义随机变量 为按上述条件组试验后， 事件 总共发生的次数。 可取值为0，1，2，. ， 是离散型随机变量。 二项式分布的概率函数： 在一组 个独立试验中，事件 成功 次的概率为：可见，二项式分布的概率函数概率函数是由双参数双参数 N0 和 p 决定的。二项式分布随机变量的数学期望和方差:数学期望 方差 例子： 具有N0个放射性原子核的放射源在t时 间内的衰变总数，服从二项式分布。原子核衰变服从指数规律，即 那么在（0t）时间内，发生衰变的原子核 数为： 所以对于原子核衰变，其数学期望为： 方差： 也就是说原子核在

9、t时间内发生衰变的概率为 ： 不发生衰变的概率为：(2) 泊松分布泊松分布泊松分布是在N0很大、概率p很小的条件下，二项式分布 在数学上的直接简化，是二项式分布的一种极限情况。 对二项式分布，当 N0 很大，但 p1(例如20)时，泊松分布就可简化为高斯分 布。对高斯分布，随机变量X取值范围为( )，为连续型随机变量。其概率密度函数 为： 高斯分布随机变量的数学期望和方差数学期望 方差 对于核衰变，可以证明单位时间发生衰 变的核数服从泊松分布。其特点为： 这一关系在高斯分布也是成立的。可以 证明： 此式表明，仅有统计涨落时，一般情况下，高斯分布连续对称，可以方便的计算测 量值出现在 区间内的概

10、率，即：令：可由高斯函数数值积分表查得。表示置信区间为该置信区间的置信度为：例如： 当Z1时，置信区间为 该置信区间的置信度为 当Z2时，置信区间为 该置信区间的置信度为3.随机变量的运算和组合复杂随机变量往往可以分解为由若 干简单的随机变量运算、组合而成。这样就可以由已知的简单随机变 量的分布函数与数字表征来求复杂随 机变量的分布函数和数字表征。(1). 随机变量的函数已知随机变量X，其可取值为x，概率 密度函数为f(x)。而Y(x)，求随机变 量Y 的可取值 y 和概率密度函数 g(y)。由于X取各可取值的概率就是Y取相应可 取值的概率，所以：的得到在数学上是十分困难的。 它取决于 和函数

11、关系 仅对一些最简单的函数才能得到其解 析表达式。 如：对多个独立随机变量的函数Y 也是一个随机变量，其可取值和概率密度 函数由各Xi 的可取值和概率密度函数共同确定 。 由此，可得到若干简单的关系： (A)(B) 相互独立的随机变量的“和”、“差”与“ 积”的数学期望，是各随机变量数学期望的“和 ”、“差”与“积”，即： (C) 相互独立的随机变量的“和”与“差”的 方差，是各随机变量方差的“和” ，即： (D) 相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“和 ”仍服从泊松分布。要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机 变量之“差差”，不服从不服从泊松分布。(2). 串级随机变量辐射测量中经常会遇到级

12、联、倍增过 程的涨落问题，这些问题可以用串级型随 机变量的概念及运算规则来处理。设对应于试验条件组A定义一个随机变 量1，对应于另一试验条件组B定义另一 随机变量2，且二者相互独立。按以下规 则定义一个新的随机变量：(A) 先按条件组A作一次试验，实现了随 机变量1的一个可取值1i；(B) 再按条件组B作1i次试验，实现了随 机变量2的1i个可取值 ； (C) 将这些可取值加起来得到一个值i， 并将此值定义为一个新的随机变量的一个 可取值；这里，随机变量为随机变量1与2的“ 串级”随机变量。而且按顺序分别称1和2 为此串级随机变量的第一级和第二级。串级随机变量的主要特点：(A) 期望值：(B)

13、 方差：(C) 相对方差：假如第一级第一级随机变量的数学期望很大很大，那 么就可以忽略第二级随机变量的相对方差对串级随机变量的相对方差的贡献。 (D) 由两个伯努利型随机变量伯努利型随机变量1和2串级而成的随机 变量 仍是伯努利型随机变量伯努利型随机变量。即 仍是只有两个 可取值(0,1)的伯努利型随机变量。若伯努利型随机变量 1 的正结果发生概率为 p1, 2 的正结果发生概率为 p2，则 正结果发生概率为：(E) 由遵守泊松分布遵守泊松分布的随机变量1与伯努利型随伯努利型随 机变量机变量2串级而成的随机变量 仍遵守泊松分布遵守泊松分布。设1的平均值为m1,而2的正结果发生概率为p2， 则

14、的平均值为：对N个相互独立的随机变量 串 级而成的N级串级随机变量，有：7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布1、核衰变数的涨落放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规 律为: 在0t 时间内，原来N0个放射性核中，发生 了衰变的核的平均数为 当N0很大时，对一个核而言，一个核在0t 时间内 发生衰变的概率为：每一个放射性核在t 时间内发生衰变是什么事件？ 是伯努利事件 随机变量取1的正事件发生的概率 取0的概率为则总的衰变数N就是上述伯努利事件重复N0 次，发生正结果的事件之和。对于一个具有N0个放射性核的放射源，在t 时 间内发生核衰变数为N，是一个遵守二项式分布 的随机变量。概率函数数学期

15、望值方差 长寿命核素，其衰变概率很小很小为有限量在t 时间内总衰变数总衰变数N遵守泊松分布泊松分布期望值方差在核衰变过程中核衰变数的方差与其平均 值相等。2、放射性测量的统计误差(1). 探测器输出计数的统计分布脉冲探测器的特点：它的输出脉冲数就反应了t时间内射入探测器的粒子数， 也就代表了放射源在t时间内发射出的总 粒子数。 由于放射性核衰变具有统计分布，测量 过程中射线与物质相互作用过程也具有随 机性，因此在某个测量时间内对样品进行 测量得到的计数值计数值同样是一个随机变量。、n1为t 时间内放射源发出的粒子数，服从 泊松分布 源发射粒子数n1射入探测器 粒子数n2探测器输 出脉冲数n3脉

16、冲计数器的测量过程可以概括为三个基本 过程，其计数值为一个三级串级型随机变量。 、n3为探测器输出脉冲数。遵守泊松分布泊松分布。平均值方差n3实际上是一个三级的串级型随机变量。、n2为进入探测器表面，即进入立体角的粒 子数。 n2仍为遵守泊松分布的随机变量：放射源在t 时间内发射的粒子数n1 遵 守泊松分布泊松分布，探测器相应的输出脉冲数n3 也遵守泊松分布泊松分布，探测器输出脉冲数的平 均值为源发射的平均粒子数与几何因子及 探测器效率之积。如果放射源发射粒子不是各向均匀的，上 述结论是否成立？仍然成立，只要粒子落在内的概率是不变 的某一常数几何因子不再是 ，而是(2). 探测计数的统计误差粒子计数探测器输出脉冲数服从统计分布 规律，当计数的数学期望值m较小时，服从泊松分