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1、概率总复习一、随机事件 1.样本点、样本空间(P4) 2.事件，事件的表示方法，事件的关系与运算(P5- P7)表示几个事件同时发生表示几个事件至少有一个发生 3.概率的基本性质，加法公式(P10-P12)二、事件的概率计算1.古典概型(P14)2.条件概率的计算 (P20)(1)按定义公式计算 (2)在缩小的样本空间下求条件概率. 3.乘法公式(P22) 4.全概率公式(P24)(由因索果)、贝叶斯公式 (P26)(由果索因) 5.事件的独立性(P29)三、一维随机变量一、一维离散型随机变量X 1.求分布列(P40)：求出X所有可能的取值，和其取对应值的 概率，列表. 2.求分布函数F(x)
2、(P41)：先求出分布列，则分布函数F(x)是以X 所有取值为分段点的一个阶梯形状的分段函数.分布函数的性质：有界性、单调不减性、极限性质、处处右 连续性 3.求概率PaXb(1)利用分布列：看X有哪些取值在满足区间(a，b，则概率等于这些值所对应的概率之和；(2)利用分布函数： PaXb=F(b)-F(a)注：若不是求一个左开右闭区间的概率，则只能利用分布列求 概率，而不能用分布函数求概率.4.求随机变量X的函数Y=g(X)的分布列(P61)：把X所有的取值带入解析式Y=g(X)，从而得到Y所有的 取值和其对应的概率，最后把Y的取值相同的项合并. 5.求X的数学期望(P97)E(X)=P(X
3、i)Xi求Y=g(X)的数学期望E(Y)= PG(Xi)G(Xi)期望的性质: E(C)=C,E(cX)=cE(X),E(XY)=E(X)E(Y),当X、Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y) 6.求X的方差(P107)D(X)=EX-E(X)2=E(X2)-E(X)2方差的性质: D(C)=0,D(cX)=c2D(X), D(X+C)=D(X)D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y)当X、Y相互独立时, D(XY)=D(X)+D(Y) 7.常见离散型的分布及其期望、方差:0-1分布,二项分布, 泊松分布二、一维连续型随机变量X 1.(P51)已知概率密度函数f(x),求分布函数
4、F(x),则 已知分布函数F(x),求概率密度函数f(x),则2.概率密度函数f(x)的性质：规范性、非负性 3.(p53)求概率PaXb=PaXb=PaXb=Pa Xb(1)利用概率密度函数：(2)利用分布函数： PaXb=F(b)-F(a) 注：连续型随机变量在任意点处的概率都等于04.求连续型随机变量X的函数Y=g(X)的分布(P62)： (1)若Y仍是连续型,且Y=g(X)单调,方法(补充); (2)若Y=g(X)不单调,则先求出Y的分布函数,再对其进行求 导得概率密度函数.(P62) (3)若Y是离散型,则按离散型的定义求出其分布列.(P114, 题4.23) 5.求X的数学期望(P
5、99)求Y=g(X)的数学期望 6.求X的方差(P108)D(X)=EX-E(X)2=E(X2)-E(X)2 7.常见连续型的分布、概率密度函数及其期望、方差:均匀分布,指数分布,正态分布四、二维随机变量 一、二维离散型随机变量(X,Y) 1.求联合分布列(P70)求出(X,Y)所有可能的取值，和其取对应值 的概率，列表. 2.分布函数F(x,y)=PXx,Yy分布函数的性质:有界性、单调不减性、极限性质、处处右连续、 非负性 3.求概率Px1Xx2, y1Yy2(1)利用联合分布列(2)利用分布函数:Px1Xx2, y1Yy2=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(
6、x1, y1) 4.边缘分布:X的边缘分布FX (x)=F(x,+)X的边缘分布列 Y的边缘分布FY(y)=F(+, y) Y的边缘分布列5.条件分布:在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.6.随机变量的独立性(P80)7.求随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布列：把(X,Y)所有的取值代入解析式Z=g(X,Y),从而得到Z 所有的取值和其对应的概率，最后把Z的取值相同的 项合并. 8.求Z=g(X,Y)的数学期望(P103)二、二维连续型随机变量(X,Y) 1.已知概率密度函数f(x,y),求分布函数F(x,y),则 已知分布函数F(x,y
7、),求概率密度函数f(x,y),则2.概率密度函数f(x,y)的性质：规范性、非负性 3.设D是平面上的任意区域,则点(X,Y)落在D内的概率通常f(x,y)是一个分段函数,则画出f(x,y)的非零区域I和 区域D,若ID=D1,则4.边缘概率密度函数(P77) X的边缘概率密度函数: 此时把f(x,y)的非零区域看作X形区域； Y的边缘概率密度函数: 此时把f(x,y)的非零区域看作Y形区域； 5.条件概率密度:在X=x的条件下,Y 的条件概率密度则条件概率 在 Y=y的条件下,X的条件概率密度则条件概率6.随机变量的独立性:7.求随机变量(X,Y)的函数Z=X+Y的概率密度(P90)若X,
8、Y相互独立8.求Z=g(X,Y)的数学期望(P103)9.常见二维连续型分布,及其联合概率密度函数:二维均 匀分布,(P76,P81)二维正态分布(P122)三、二维随机变量(X,Y)的协方差与相关系数 1.X与Y的协方差(P114)Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y) 性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (2) Cov(aX,bY)= abCov(X,Y) (3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y) (4)X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0;特别地Cov(X,C)=0(C为常数) 2.X与Y的相关系数 性质(1) (2)X,Y相互独立,则五、随机
9、变量的其他数字特征 1.矩(P120)k阶原点矩 k阶中心矩 2.分位数(P121) 六、大数定律与中心极限定理 1.切比雪夫不等式(P129) 2.切比雪夫大数定律(P132)Xi之间相互独立,期望方差都 存在,且方差一致有界3.伯努利大数定律(P133)4.辛钦大数定律(P135)Xi之间独立同分布,期望存在即5.独立同分布情形的中心极限定理(P137) Xi之间独立同分布,期望方差都存在,则一般n30,则认为6.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理(P139)XB(n,p),一般n30,则认为七、统计量及其分布 1.总体、个体、样本(P143) 2.(P145)样本的联合分布函数离散型的联合分布列连续型的联合概率密度3.统计量(P147):样本的不含任何未知参数的函数叫做统计 量;常用统计量(样本均值、样本方差P148) 4.统计推断中的三大分布(P153) (1) 分布:Xi独立均服从N(0,1),则性质:可加性 (2)tt(n)分布:XN(0,1),Y ,且X,Y相互独立,则(3)FF(n1,n2)分布: ,且X,Y相互独立,则性质: 5.正态总体下的抽样分布定理(P157)(1) (2)(3)(4) 与 相互独立(5)
