有效数字修约规则

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1、GB8170-87GB8170-87数值修约规则数值修约规则二二OOOO八年十一月八年十一月数值修约数值修约一、数值修约的概念及意义一、数值修约的概念及意义 二、数值修约的基础知识二、数值修约的基础知识 三、数值修约规则及注意事项三、数值修约规则及注意事项 四、数值运算规则四、数值运算规则一、数值修约的概念及意义一、数值修约的概念及意义1.1.测量及测量结果测量及测量结果2.2.数值修约的概念及意义数值修约的概念及意义1. 1. 测量、测量结果测量、测量结果（1 1）测量、测量结果测量、测量结果uu测量测量是以确定量值为目的的一组操作。量值是是以确定量值为目的的一组操作。量值是 由一个由一个数

2、数（值）乘以测量单位所表示的特定量（值）乘以测量单位所表示的特定量 的大小。的大小。测量有间接和直接之分：测量有间接和直接之分：直接测量直接测量的结果的结果 可直接测到而不必通过函数计算；而可直接测到而不必通过函数计算；而间接测量间接测量 的结果需将直接测量的结果代入函数计算才能的结果需将直接测量的结果代入函数计算才能 得到。得到。uu由测量所得的赋予被测量的值称为由测量所得的赋予被测量的值称为测量结果。测量结果。例如，例如，用分析天平称得一个试样的质量为用分析天平称得一个试样的质量为 1.1080g1.1080g， 1.1080g1.1080g就是一个测量结果。就是一个测量结果。uu由测量与

3、测量结果的概念可看出，测量结果可由测量与测量结果的概念可看出，测量结果可 表示如下：表示如下： 测量结果测量结果=数数（值）（值）单位量值单位量值uu根据误差公理，测量总是存在误差的，测量结根据误差公理，测量总是存在误差的，测量结 果只能是接近于测量真值的估计值，因而表示果只能是接近于测量真值的估计值，因而表示 测量结果的数（值）是含有误差的数（值），测量结果的数（值）是含有误差的数（值），就是说，表示测量结果的的数值是一个近似值就是说，表示测量结果的的数值是一个近似值 。（1 1）数值修约的概念数值修约的概念uu对某一表示测量结果的数值（拟修约数）对某一表示测量结果的数值（拟修约数） ，根据

4、保留位数的要求，将多余的数字进，根据保留位数的要求，将多余的数字进 行取舍，按照一定的规则，选取一个近似行取舍，按照一定的规则，选取一个近似 数（修约数）来代替原来的数，这一过程数（修约数）来代替原来的数，这一过程 称为数值修约。称为数值修约。2. 2. 数值修约的概念及意义数值修约的概念及意义uu（2 2）数值修约的意义数值修约的意义uua.a.出于准确表达测量结果的需要。出于准确表达测量结果的需要。uu测量结果大都是通过间接测量得到的，间接测量测量结果大都是通过间接测量得到的，间接测量 的结果通常是通过计算得出的，其组成数字往往的结果通常是通过计算得出的，其组成数字往往 较多，较多， 但具

5、体测量的精度是确定的，就是说表示但具体测量的精度是确定的，就是说表示 合理表征测量结果的数字个数应是确定的，最终合理表征测量结果的数字个数应是确定的，最终 提供的测量结果应合理反映这一点，故此，通过提供的测量结果应合理反映这一点，故此，通过 对计算方法和直接测量得到的数据的分析，得到对计算方法和直接测量得到的数据的分析，得到 合理的保留位数，将多余的数字进行取舍以得到合理的保留位数，将多余的数字进行取舍以得到 合理反映测量精度的测量结果，即进行数值修约合理反映测量精度的测量结果，即进行数值修约 就非常必要。另外，即使采用直接测量，有时在就非常必要。另外，即使采用直接测量，有时在 提供测量程序要

6、求的但高于实际测量精度的测量提供测量程序要求的但高于实际测量精度的测量 结果时也需要进行合理的数值修约。结果时也需要进行合理的数值修约。uub.b.在进行具体的数值计算前，对参加计算的数在进行具体的数值计算前，对参加计算的数 值进行修约，可简化计算，降低计算出错的机值进行修约，可简化计算，降低计算出错的机 会。会。uu如：如：4.789612.13102.4387926=?4.789612.13102.4387926=?uu若不先进行数值修约就直接计算，繁琐且容易若不先进行数值修约就直接计算，繁琐且容易 出错。若在计算前先按数值修约规则进行修约出错。若在计算前先按数值修约规则进行修约 ，舍去多

7、余参与计算的数值之中没有意义的数，舍去多余参与计算的数值之中没有意义的数 字，则计算会简单得多，计算也就不容易出错字，则计算会简单得多，计算也就不容易出错 。二、数值修约的基础知识二、数值修约的基础知识1. 1. 有效数字有效数字 2 2 修约间隔修约间隔 3.3.修约数位及修约数位及确定修约位数的表达方确定修约位数的表达方 式式 1. 1. 有效数字有效数字1.1 1.1有效数字有效数字uu有效数字是指在分析和测量中所能得到的有实际意义有效数字是指在分析和测量中所能得到的有实际意义 的数字。测量结果是由有效数字组成的（前后定位用的数字。测量结果是由有效数字组成的（前后定位用 的的“ “0 0

8、” ”除外）。除外）。uu我们来看前面的测量结果我们来看前面的测量结果1.1080g1.1080g，组成数字，组成数字1 1、1 1 、0 0、8 8、0 0都是实际测读到的，它们是表示试样质量都是实际测读到的，它们是表示试样质量 大小的，因而都是有实际意义的。大小的，因而都是有实际意义的。uu有效数字的前几位都是准确数字，只有有效数字的前几位都是准确数字，只有最后一位是可最后一位是可 疑数字疑数字。uu如前述的如前述的1.10801.1080， 前几位数字前几位数字1 1、1 1、0 0、8 8都是称都是称 量读到的准确数字，而最后一位数字量读到的准确数字，而最后一位数字0 0则是在没有刻则

9、是在没有刻 度的情况下估读出来的，是不准确的或者说可疑的。度的情况下估读出来的，是不准确的或者说可疑的。uu有效数字是处于表示测量结果的数值的不同数位有效数字是处于表示测量结果的数值的不同数位 上。所有有效数字所占有的数位个数称为上。所有有效数字所占有的数位个数称为有效数有效数 字位数字位数。uu例例1 1：数值：数值3.53.5，有两个有效数字，占有个位、十，有两个有效数字，占有个位、十 分位两个数位，因而有效数字位数为两位；分位两个数位，因而有效数字位数为两位； 3.5013.501有四个有效数字，占有个位、十分位、百有四个有效数字，占有个位、十分位、百 分位等四个数位，因而是四位有效数字

10、。分位等四个数位，因而是四位有效数字。uu测量结果的数字，其有效位数反映了测量结果的测量结果的数字，其有效位数反映了测量结果的 精确度，它直接与测量的精密度有关。这也是有精确度，它直接与测量的精密度有关。这也是有 效数字实际意义的体现，是非常重要的体现。效数字实际意义的体现，是非常重要的体现。uu例如前述例子中，若测量结果为例如前述例子中，若测量结果为1.1080g1.1080g，则表，则表 示测量值的误差在示测量值的误差在1010-4-4量级上，天平的精度为万量级上，天平的精度为万 分之一；若测量结果为分之一；若测量结果为1.108g1.108g，则表示测量值的，则表示测量值的 误差在误差在

11、1010-3-3量级上，天平的精度为千分之一。量级上，天平的精度为千分之一。2.2 2.2 有效数字位数的确定原则有效数字位数的确定原则uu由于有效数字的位数反映了测量结果的精由于有效数字的位数反映了测量结果的精 确度，它直接与测量的精密度有关。因此确度，它直接与测量的精密度有关。因此 ，在科学实验和生产活动中正确记录有效，在科学实验和生产活动中正确记录有效 数字，不能多写或少写，多写了不能正确数字，不能多写或少写，多写了不能正确 反映测量精度，则该数据不真实，因而也反映测量精度，则该数据不真实，因而也 就不可靠；少写损失测量精度度。另外，就不可靠；少写损失测量精度度。另外， 能够正确判定表示

12、测量结果的数中那些数能够正确判定表示测量结果的数中那些数 字是有效数字，确定有效数字位数就显得字是有效数字，确定有效数字位数就显得 非常重要。这也是在计量认证过程中，有非常重要。这也是在计量认证过程中，有 效数字位数的确定往往成为考核内容之一效数字位数的确定往往成为考核内容之一 的原因。的原因。uu在确定有效数字位数时应遵循下列原则：在确定有效数字位数时应遵循下列原则：uu（1 1）数值中数字）数值中数字1 19 9都是有效数字。都是有效数字。uu（2 2）数字）数字“ “0 0” ”在数值中所处的位置不同，在数值中所处的位置不同， 起的作用也不同，可能是有效数字，也可起的作用也不同，可能是有

13、效数字，也可 能不是有效数字。判定如下：能不是有效数字。判定如下：uu1 1） “ “0 0” ”在数字前，仅起定位作用，不是有在数字前，仅起定位作用，不是有 效数字。效数字。如，如，0.02570.0257中，中， “ “2 2” ”前面的两个前面的两个“ “0 0” ”均均 非有效数字。非有效数字。 0.1230.123、0.01230.0123、 0.001230.00123中中“ “1 1” ”前面的前面的 “ “0 0” ”也均非有效数字也均非有效数字 。uu2 2）数值末尾的）数值末尾的“ “0 0” ”属于有效数字。属于有效数字。如如0.50000.5000中，中， “ “5 5

14、” ”后面的三个后面的三个“ “0 0” ”均为均为 有效数字；有效数字；0.50000.5000中，中， “ “5 5” ”后面的一个后面的一个“ “0 0” ” 也是有效数字。也是有效数字。特例特例：见第：见第4 4）条。）条。 3 3）数值中夹在数字中间的）数值中夹在数字中间的“ “0 0” ”是有效数字。是有效数字。如数值如数值1. 0081. 008中的两个中的两个“ “0 0” ”是均是有效是均是有效 数字；数字； 数值数值8. 018. 01中间的中间的 “ “0 0” ”也是有效数字也是有效数字 。uu4 4）以）以“ “0 0” ”结尾的正整数，结尾的正整数， “ “0 0”

15、 ”是不是有效数是不是有效数 字字不确定不确定，应根据测试结果的准确度确定，应根据测试结果的准确度确定 。如如36003600，后面的两个，后面的两个“ “0 0” ”如果不指明测如果不指明测 量准确度就不能确定是不是有效数字。量准确度就不能确定是不是有效数字。测量中遇到这种情况，最好根据实际测量中遇到这种情况，最好根据实际 测试结果的精确度确定有效数字的位数，测试结果的精确度确定有效数字的位数， 有效数字用小数表示，把有效数字用小数表示，把“ “0 0” ”用用1010的乘方表的乘方表 示。如将示。如将36003600写成写成3.6103.6103 3表示此数有两表示此数有两 位有效数字；写

16、成位有效数字；写成3.60103.60103 3表示此数有三表示此数有三 位有效数字；写成位有效数字；写成3.600103.600103 3表示此数有表示此数有 四位有效数字。四位有效数字。uu试看下面各数据的有效数字位数：试看下面各数据的有效数字位数：uu1.0008 43383 1.0008 43383 五位有效数字五位有效数字uu0.5000 20.76% 0.5000 20.76% 四位有效数字四位有效数字uu0.0257 1540.0257 1541010-10-10 三位有效数字三位有效数字uu53 0.0070 53 0.0070 二位有效数字二位有效数字uu0.02 20.02 21010-