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1、第第 2 2章章平稳随机信号的谱分析 Date1本章要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法? v傅里叶变换能否应用于随机信号？ v相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用 v采样定理 v白噪声的定义 Date22.1 随机信号的谱分析 一、预备知识1. 付氏变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足 在 范围内满足狄利赫利条件 绝对可积，即 信号的总能量有限，即 有限个极值有限个断点断点为有限 值Date3则 的傅里叶变换为： 其反变换为： 称 为 的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱相位 谱Date4常见的傅立叶变换Date52. 帕塞瓦等式即能量谱密 度Date6二
2、、随机信号的功率谱密度 应用截取函数 Date7当x(t)为有限值时， 的傅里叶变换存在 应用帕塞瓦等式 除以2T取集合平均Date8令 ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序 功率Q 非负存在（1）Q为确定性值，不是随机变量（2） 为确定性实函数。注意：Date9两个结论： 1表示时间平均 若平稳2Date10例1：设随机信号 ，其中 皆是实常数， 是服从 上均匀分布的随 机变量，求随机信号 的平均功率。 解：不是宽平稳的Date11Date12 功率谱密度： 描述了随机信号X(t)的 功 率在各个不同频率上的分布 称为随 机信号X(t)的功率谱密度。 对 在X(t)的整个频率范围内积分，
3、便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机信号，有： Date13三、功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：随机信号：平稳随机信号的自相关函数功率谱密度。 1. 维纳辛钦定理 若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R() 以及 R()绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：Date142. 证明：我们允许自相关函数和功率谱密度中存在函数Date15设则所以：Date16则(注意 绝对可积，第二项为0) Date17推论：对于一般的随机信号X(t)，有： 平均功率为： 利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成： Date183单边功率谱 由于实平
4、稳过程x(t)的自相关函数 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。 Date19X(t)变换的功率谱密度Date20例2：平稳随机信号的自相关函数为 ， A0， ，求过程的功率谱密度。 解：应将积分按 和 分成两部分进行 Date21例3：设 为随机相位随机信号其中， 为实常数 为随机相位，在 均 匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随 机信号，自相关函数为 求 的功率谱密度 。Date22解：注意此时 不是有限值，即不 可积，因此 的付氏变换不存在，需要 引入 函数。Date23例4：设随机信号 ，其中 皆 为常数， 为具有功率谱密度 的平稳
5、随 机信号。求过程 的功率谱密度。 解： Date24例5：设随机信号 ，其中 是概 率密度为 的随机变量，a和为实常数， 求X(t)的功率谱密度。 Date25四、平稳随机信号功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负的,即 证明：2. 功率谱密度是 的实函数 Date263. 对于实随机信号来说，功率谱密度是 的偶函数，即证明：是实函数又Date274. 功率谱密度可积，即 证明：对于平稳随机信号，有： 平稳随机信号的均方值有限Date282.2 联合平稳随机信号的互谱密度一、互谱密度考虑两个平稳实随机信号X(t)、Y(t)， 它们 的样本函数分别为 和 ，定义两个截取 函数 、 为：Dat
6、e29因为 、 都满足绝对可积的条件 ，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围 (-T，T)内，两个随机信号的互功率 为: （注意 、 为确定性函数，所以求平均 功率只需取时间平均） 由于 、 的傅里叶变换存在，故帕 塞瓦定理对它们也适用，即:Date30注意到上式中， 和 是任一样本函数，因 此具有随机性，取数学期望，并令 得： Date31定义互功率谱密度为：则Date32同理，有：且Date33二、互谱密度和互相关函数的关系若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实 随机信号，它们的互谱密度与其互相关函数 互为傅里叶变换。Date34三、互谱密
7、度的性质性质1：证明： （令 ） Date35性质2： 证明： 同理可证Date36性质3： 证明：类似性质2证明。性质4： 若X(t)与Y(t)正交，则有 证明：若X(t)与Y(t)正交，则 所以Date37性质5： 若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分 别具有常数均值 和 ，则 证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以（ ）Date38例6：设两个随机信号X(t)和Y(t)联合平稳， 其互相关函数 为: 求互谱密度 ， 。性质6： Date39解： Date402.3 离散时间随机信号的功率谱密度一、离散时间随机信号的功率谱密度1.平稳离散时间随机信号的相关函数 设X(n)为
8、广义平稳离散时间随机信号，或 简称为广义平稳随机序列，具有零均值， 其自相关函数为:简写为： Date412. 平稳离散时间随机信号的功率谱密度 当 满足条件式 时，我们 定义 的功率谱密度为 的离散傅里叶 变换，并记为 是频率为 的周期性连续函数，其 周期为 奈奎斯特频率 Date42因为 为周期函数，周期为 ， 在 时Date43在离散时间系统的分析中，常把广义平稳 离散时间随机信号的功率谱密度定义为 的z变换，并记为 ，即 式中式中，D为在 的收敛域内环绕z平面原点反 时针旋转的一条闭合围线。性质 Date44例7：设 ，求 和解：将z= 代人上式，即可求得Date45其中，T为采样周期
9、， 为在 时对 的采样。设设 为一确知、连续、限带、实信号，其频带范为一确知、连续、限带、实信号，其频带范 围围 ，当采样周期，当采样周期T T等于等于 时，可将时，可将 展开为展开为二 确定性信号的采样定理Date46连续时间 确知信号离散时间 确知信号采样香农采样定理Date47连续时间平 稳随机信号离散时间平 稳随机信号自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFTDate48连续时间平 稳随机信号离散时间平 稳随机信号采样三 平稳随机信号的采样定理Date49若若 为平稳随机信号，具有零均值，其功率谱为平稳随机信号，具有零均值，其功率谱密度为密度为 ，则当满足条件，则当满足条件 时
10、，可将时，可将 按它的振幅采样展开为按它的振幅采样展开为Date50第一步第一步第二步第二步第三步第三步(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(5)=0证明思路：Date51连续时间平 稳随机信号离散时间平 稳随机信号采样=自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFTDate52若平稳连续时间实随机信号 ，其自相关函数和 功率谱密度分别记为 和 ，对 采样后所得 离散时间随机信号 ， 的自相关函数和 功率谱密度分别记为 和 ，则有三、 功率谱密度的采样定理Date53证明: (1) 根据定义= 由可见， ，即样可得=(2)进行等间隔的采对Date54连续时间平 稳随机信号离散时间平
11、稳随机信号采样 自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数F TDFT平稳随机信号的采样定理平稳随机信号的采样定理功率谱密度的采样定理功率谱密度的采样定理Date552.4 白噪声一、理想白噪声定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机 信号，其功率谱密度均匀分布在 的整 个频率区间，即 其中 为一正实常数，则称N(t)为白噪声过 程或简称为白噪声。Date56自相关函数为 自相关系数为 Date57总结：（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。（2）白噪声的均方值为无限大而物理上存在的随机信号，其均方值总是有 限的。 （3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。Date58二、限带白噪
12、声1低通型定义：若过程的功率谱密度满足 则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪 声通过一个理想低通滤波器，便可产生出 低通型限带白噪声。Date59低通型限带白噪声的自相关函数为Date60图3.11示出了低通型限带白噪声的 和 的图形，注意，时间间隔 为整 数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（ 均值为0，相关函数值为0）。Date612. 带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为 由维纳辛钦定理，得到相应的自相关 函数为 Date62带通型限带 白噪声的 和 的图形 Date63三、色噪声按功率谱度函数形式来区别随机信号， 我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称 为有色噪声或简称色噪声。Date64小 结1.随机信号的时间无限性，导致能量无限， 因而随机信号的付氏变换不存在，但其功 率存在。所以，不能对随机信号直接求付 氏变换，即： 但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变 换，即若随机信号X(t)平稳，则 Date652.平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求积分（有 个 系数）；求相关函数后令 . 一般过程：3. 随机信号的平均功率：即集合平均统计平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。Date66
