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1、 1.1.2-1.1.3 四种命题及相互关系下列四个命题中，命题(1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别 有什么关系？l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； l若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； l若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数 ； l若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数 。观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什 么关系？l 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； l 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命
2、题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。pq qp即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直 线平行，同位角相等”。原命题与其逆原命题与其逆 命题的真假是命题的真假是 否存在相关性否存在相关性 呢呢? ?观察命题(1)与命题(3)的条件和结论 之间分别有什么关系？ l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.pqp原命题:若p,则qq为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “p” “q”否命题:若p,则q互否命题 原命题 (原命题的)否命题例如，命题“同位
3、角相等，两直线平行”的否命题是“同位 角不相等，两直线不平行”。存在相关性呢存在相关性呢? ?观察命题(1)与命题(4)的条件和结论 之间分别有什么关系？ l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.pqq原命题: 若p, 则qp逆否命题: 若q, 则p互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两 直线不平行，同位角不相等”。原命题与其逆原命题与其逆 否命题的真假否命题的真假 是否存在相关是否存在相关 性呢性呢? ?、互否命题：如果第一个命题的条件和结论 是第二个命题的条件和结论的否定，那
4、么这两个命 题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题 ，那么另一个叫做原命题的否命题。、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结 论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那 么这两个命题叫做互为逆否命题。、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题 设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做 原命题的逆命题。三个概念若p 则q逆否命题：原命题：逆命题：否命题：若q 则p若 p 则 q若 q 则 p否命题与命题的否定l否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。l命题的否定是逻辑联结词“非”作用于
5、判断,只否定结论不否定条件。l对于原命题: 若 p , 则 q 有否命题: 若p , 则q 。命题的否定: 若 p ，则q 。原结论 反设词 原结论 反设词 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 且 至多有n个 对所有x, 成立对任何x， 不成立 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的 ，下面是一些常见的结论的否定形式. 不是 不都是不大于 或一个也没有至少有两个至多有（n-1)个 至少有（n+1)个存在某x， 不成立存在某x，成立观察与思考？你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?1、四种命题之间的 关系原命题 若p则q逆命题 若q则p否命题 若p则q逆否命题 若q则p互逆
6、互 否互 否互逆2）原命题：若a=0, 则ab=0。 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a 0, 则ab0。 逆否命题：若ab0,则a0。(真) (假) (假) (真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子： 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x2且x3, 则x2-5x+60 。 逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3。(真) (真) (真)3) 原命题：若a b, 则 ac2bc2。 逆命题：若ac2bc2,则ab。否命题：若ab,则ac2bc2。逆否命题：若ac2bc2,则ab。（假） （真）
7、（真）（假）原命题题逆命题题否命题题逆否命 题题 真真真真真假假真假真真假假假假假一般地,四种命题的真假性,有而 且仅有下面四种情况:想一想？（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但 其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即(1)原命题与逆否命题同真假。(2)原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但 其逆命题、否命题不一定为真。总结：(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系).练一练1.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）
8、2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。如：原命题：若AB=A, 则AB=。 逆命题：若AB=，则AB=A。 否命题：若ABA，则AB。 逆否命题：若AB，则ABA。（假） （假） （假） （假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）例题讲解 例1：设原命题是：当c0时，若ab, 则acbc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。解：逆命题：当c0时，若acbc, 则ab.否命题：当c0时，若ab, 则acbc.逆否命题：当c0时，若acbc, 则ab.（真）（真）（真）分析：“当c0
9、时”是大前提，写其它命题时应该保留。原命题的条件是“ab”， 结论是“acbc”。例2 若m0或n0，则m+n0。写出其逆命题 、否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。解：逆命题：若m+n0，则m0或n0。否命题：若m0且n0, 则m+n0.逆否命题：若m+n0, 则m0且n0.（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。3.反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出
10、矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 反设归谬结论1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。2、导出矛盾有四种可能： （1）与原命题的条件（题设）矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面（反设）成立矛盾。（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。3、反证法的使用范围：几点注意：（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。反证法证： 假设若_时,则_,x2+y20与 x2+y2=0矛盾,若_时,则_,x2+y20与 x2+y2=0矛盾,所以假设不成立,从而_成立。x、y至少有
11、一个不为0 x 0x2 0例3 证明：若x2+y2=0, 则y 0y2 0x =y=0。x =y=0。反证法证明证： 假设_或_,由于_时,_,与 (x-a)(x-b)0矛盾,又_时,_,与(x-a)(x-b)0矛盾,所以假设不成立,从而_。x=a x=bx=a (x-a)(x-b)=0x=b(x-a)(x-b)=0x a且x b用反证法证明,若(x-a)(x-b)0,则x a且x b.证明：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分。 已知：如图，在O中，弦AB、CD 交于点P，且AB、CD不是直径.求 证：弦AB、CD不被P平分.POBADC例 1由于P点一定不是圆心O，连结OP ，根据垂径定
12、理的推论，有OPAB，OPCD，所以，弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。DPOBAC假设弦AB、CD被P点平分 , 证明:连结 AD、BD、BC、AC, 因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形 ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边 形必是矩形，则其对角线AB、CD必是 O的直径，这与已知条件矛盾。证法二所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立 。总结提炼1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等反设 归谬 结论2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?小结：1. 四种命题的关系2. 四种命题的真假关系3. 一种思想:利用等价性证明证明：一个三角形中不能有 两个角是直角已知：ABC 求证：A、B、C中不能有两个角是直角证明二（反证法）：假设p2q2=2，则2=p2q22pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2，这与命题的条件pq2相矛盾，假设不成立，即p2q22，故原命题为真命题。练1： 证明：若pq2，则p2q22.假设原命题结 论的反面成立看能否推出原命题 条件的反面成立尝试成功得证
