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1、 第二章 点集简介1.度量空间，n维欧氏空间2.聚点，内点，界点3.开集，闭集，完备集4.直线上的开集，闭集，完备集的构造引言第一章叙述了集合的概念及其运算，那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限，可数无限，不可数无限等等），没有涉及集合各个元素之间的着某种关系，距离”、“实数之间可以引进四则运算”等。都是集合内部的一种结构。所谓空间:是一类具有某种结构的集合。本章将研究一种特殊的集合-空间中的点集例如：实直线R构成一维空间、“任意两点间有是其中的结构。本章着重研究n维欧氏空间。1. 度量空间，n维欧氏空间都有唯一确定的实数且满满足12称为为x与y的距离 。两点间间距离定义义条 件结
2、结 论论设设x是任意一个非空集合，唯一确定的实实数d(x,y)与之对应对应 且满满足2（三点不等式）都有1（非负性）称d(x,y)是x,y之间距离。称 (X,d)为度 量空间（或距离空间）度量空间间定义义条 件结结 论论X间间，称为为(X,d)的子空间间。设X是度量空间，则X中度量d具有对称性定义： 如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个 非空子集，则(Y,d)也构成一个度量空事实上，在定义1中，令z=x，再由1）有d(x,y)d(x,x)+d(y,x)=d(y,x)由x,y次序是任意的,知d(y,x) d(x,y)所以, d(y,x) =d(x,y).设X是度量空间，则X中度量d具有对称性
3、已知：(X , d) 是度量空间 , 求证证：由1)可知， 证明：在三点不等式中,取 有由于x和y的次序是任意的，同理可证证,即下面我们举们举 一些度量空间间的例子。欧氏空间规规定距离例1对对中任意两点2 由柯西不等式得到 证明： 由度量空间定义可知1 显然成立。_代入上式两边边开方得 令=d(x,z)+d(y,z)所以， 即是度量空间间。距离的另两种表示法 称为为n维维欧氏空间间.d 称为为欧几里得距离。12邻域及其基本性质1 邻邻域定义义：的点的全体，即集合中所有和定点之距离小于定数称为为点的邻邻域 。 记作称为为邻邻域的中心，称为为邻邻域的半径。其中2 邻邻域的基本性质质：显显然成立。
4、（1） 和存在3(p),使得对于（2）取 则则使证证 明：设对对于存在证证明： 则U(Q)=U(Q,1)（3）因为Q取1:01d(P,Q)U(P)PQQ1使 由有取证毕证毕 。（4）时时，和当存在证明：则PQPQ中几个基本概念定义义：记为记为或1 收敛为为中一点列，设如果当时时有则则称点列收敛敛于有邻邻域语语言使 有的任意邻邻域对于语言一个非空点集E的直径定义为义为2 点集间距离定义：两个非空点集A,B的距离为3 点集间直径定义：ABd(A,B)(E) E例如 则则设设E为为中一点集 , E有界,4 有界集下面三个说法等价EKXY=（1）开区间间定义义：称为为一 个(n维维)开区间间。称为为一个(n)维维闭闭区间间(或左开右闭闭区间间)。（2）闭区间定义：5 区间点集点集称为为区间间I的第i个“边长边长 ”。称为为区间间I的“体积积”。记记作（3）区间的定义：区间的“边长”：区间的“体积”：开区间,闭区间统称为区间。记作 .在R1,R2,R3中,| I |分别表为区间长度，矩形面积，立体体积则则d是例2 记记设设定义义上的距离。2 对固定的n,和都是证明： 1 显然成立。中元素，故对对固定的 n ，有柯西不等式不等式右端，再令左端即得得， 令令代入上式两边边开方 所以即是度量空间间。
