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1、第四章 根轨迹法第一节 引言第二节 根轨迹的基本概念第三节 根轨迹的绘制规则第四节 开环零极点对根轨迹的影响第五节 参变量根轨迹族A.闭环系统的稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程的根。B.当待定参数变化时特征根随之 变化，这个根的变化轨迹就 形 成 根轨迹。C.用来研究根轨迹的变化规律以 及和闭环系统性能间的关系的方 法，称为控制系统根轨迹分析法 。第一章 引言第二节 根轨迹基本概念4.2.1 根轨迹根轨迹：开环传函某个参数由0 时闭环特征根在S平面上移动的轨迹。 ks(s+2)XY例：1)开环传函:开环极点:s1=0 s2= 2 开环零点: 无 2)闭环传函：3) 闭环特征方程: s2
2、+2s+K=0-js2s1-24）闭环特征根：分析：1K=1 临界阻尼，重根；20K1，两个负实根过阻尼状态；(3)K1 共轭复根 ， 欠阻尼 衰减振荡 ， 且K越大 越小 ，振荡越烈；问题在于逐点计算工作量大。若 要更有效的绘制根轨迹就必须找 出绘根轨迹的规律4.2.2.根轨迹方程 G(s)H(s)+Y(s)X(s)闭环传函:开环传函:闭环特征方程:或根轨迹方程移项得: K称为根轨迹增益注：常规根轨迹,简称根轨迹 ； 补根轨迹或余根轨迹 ； 完全根轨迹,简称全 根轨迹。4.2.3 幅值和相角条件由根轨迹方程得:可得两个条件方程:幅值条件方程(模相等):相角条件方程(相角相等):注释：根轨迹上
3、的点应同时满足上两个方程;相角条件方程与K无关，幅值方程才与K 相关; 相角条件是决定根轨迹的充要条件，s 平面上一点s若满足相角条件即为根轨 迹上的一点; 相角条件用来确定根轨迹点s=j;幅值条件用来确定对应的K。绘制根轨迹方法：试探法， 任选s看 是否满足相角条件；按基本规则如下节讲 述手工绘制；用计算机绘制。第三节 根轨迹绘制规则 规则1根轨迹与实轴对称证：特征根要么实根， 要么为共轭复根，所以必 与实轴对称 。规则2：根轨迹起于开环极点，终于 开环零点或无穷远点，且终于无穷点 的分支数为n-m。证：由幅值条件 ：规则3 根轨迹分支数=n证：n阶特征方程有n个根，K从0时，n个根随之变化
4、，故有n条根轨迹。规则4 实轴上根轨迹区段右边的 开环零点和开环极点总数为奇数 。sr3214213在上述相角条件中，考虑到这 些相角中的每一个相角都等于 ，而与-代表相同的角度，因 此减去角就等于加上角，于 是位于根轨迹的等效条件是例：已知开环传函为求根轨迹。解：z1=-1，z2=-2，p1=0，p2=-3，p3=-4 oo规则5有n-m条根轨迹分支沿渐 近线趋于无穷远，其渐近线与 正实轴的夹角为：与实轴的交点为：证1：设无穷远处有特征根S，则所有的开环有限零极点到S的矢量的幅角可以认为是相等的，即则据幅角条件：证2：对于无穷远处的点S，所有有 限的开环零极点可记为一点，其位置 为实轴上的一
5、个点上。则由幅值 条件可得到： 据多因式相乘公式忽略其余项有： 注：上式牛顿二项式定理r -pjs规则7：分离点或会合点sf与分离角的确立公式为：定义：根轨迹分离点L条根轨迹在S平面上相遇又分开的 点 ,分离点为重根点, L为重根数.根轨迹分离角 进入分离点又分开的角度四重根 相邻极点间的分离点 相邻零点间的会合点 分离角计算公式可用相角条件证明，证明过程较繁，从略。分离点计算的证明：f sfoo其实应表达为：重根数L的判别： 从根轨迹图判别较容易，如：f sfoo规则8：根轨迹与虚轴上的交点对应的临界增益可用j代入特征方程中求出或利用劳斯判据求出。例 已知求与虚轴的交点及对应的临界K*。例：
6、求图中根轨迹上点s1的K解：oacbs1规则10：若n-m2,则系统所有闭环特征根之和等于常数并等于开环特征根之和；若n m，则系统所有闭环特征根之积乘以n等于闭环特征方程常数项。设-Pi为开环特征根,-qj为闭环特征根,则因为闭环特征根之和为常数，所以对 于n-m2的系统，随K的变化，一部分 根轨迹分支向左移动，另一部分将向 右移动。根轨迹绘制规则应用举例G(s)H(s)+Y(s)X(s)o 根轨迹与虚轴的交点 (利用劳斯判据)：闭环方程 : sssss7确定分离点：第四节 开环零极点对根轨迹的影响1.增加开环零极点时 结论:增加开环极点将使根轨迹向右半平面移动,使系统稳定性变差;增加开环零
7、点将使根轨迹向左半平面移动,使系统稳定性变好。举例验证 : 增加极点： 1) 当a=1时根轨迹如图示.2) 加一个实极点 取 a=1, b=3 根轨迹如图.3) 加二个实极点 取a=1,b=3, c=5 4) 加一对复极点 取s1=3+10i ; s2=3-10i 图四举例验证 : 增加零点： 1) 取a=1 根轨迹如图所示2) 取a=1, b=5 根轨迹如图所示3) 取a=5, z1=9+10i, z2=9-10i 举例验证 : 增加零点例： 1) 加一个实极点 取 a=1, b=3 根轨迹如图.2）同时增加零极点 取 a=3,b=7,c=9 2. 移动开环零极点时一般结论：根轨迹可能显著变
8、化。举 例：a=10a=9a=8a=3a=1第五节 参变量根轨迹族以上描述了绘制一个参变量的根轨迹的方法。实际中也有同时要研究几个参变量的情况。这时可用参变量根轨迹族的方法。绘制根轨迹族的原理和方法为嵌入法。以二个参数根轨迹族为例：设闭环特征方程：K1，K2为可变参数，As与参数无关。例: K1和T为可变参数，试绘K1与T同时变化的根轨迹族。解： 闭环方程： 先令T=0 则有 可画根轨迹；再令T 则有 对于不同的K1可画出0T的根轨迹。T=0, K从0到无穷大变化的根轨迹 当K1=3,T变化时的根轨迹当K1=6, T变化时的根轨迹当K1=20,T变化时的根轨迹当 K1=3,6,20 T变化时的根轨迹
