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1、一、DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为 X(k)的离散傅里叶逆变换为 式中， ，N称为DFT变换区间长度，7.3 离散傅里叶变换（DFT）Date1二、DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式（3.1.3）式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上 的N点等间隔采样； （3.1.4）式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变 换X(ej)在区间0，2 上的N点等间隔采样。Date2 实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，
2、 即为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示： 三、DFT的隐含周期性均为整数 有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是x(n)的 周期延拓序列x(n)N的离散傅里叶级数系数 的主值序列，即Date3图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓 Date47.3 离散傅里叶变换（DFT） 定义DFT：用类似于例7.9中的方法，可把（7.3）式写成矩阵乘法运算。Xk=xn*Wnk其中，xn为序列行向量，Wnk是一 NN 阶方阵，而 称为旋转因子。Wnk 的MATLAB表示： Wnk = WN.(0:N-1* 0:N-1)Date5用矩阵乘法计算N点DFT的程序如下: MATLAB
3、程序q73a.m %用矩阵乘法计算N点DFT clear;close all xn=input(请输入序列x= ); N = length(xn); % n=0:N-1; k=n; nk=n*k; % 生成NN方阵 WN=exp(-j*2*pi/N); % 旋转因子 Wnk=WN.nk; % 产生旋转因子矩阵 Xk=xn*Wnk; % 计算N点DFT这种方法计算DFT概念清楚、编程简单，但占用内存大、运行 速度低，所以不实用。MATLAB基础部分提供了fft、ifft、fft2、 ifft2等等快速计算傅里叶变换的函数，使DFT的运算速度量提高了若 干数量级，在后面的例题中均直接调用这些函数。
4、Date6例7.15 序列的离散傅立叶变换 求复正弦序列 余弦序列 正弦序列的离散傅立叶变换，分别按N =16和N =8进行计算。 绘出幅频特性曲线， 进行比较讨论。 解：直接产生序列x1n、x2n和x3n，调用fft函数求解 Date7%第七章例7.15程序q715 % DFT计算 clear;close all N=16;N1=8; %产生序列x1(n),计算DFTx1(n) n=0:N-1; x1n=exp(j*pi*n/8); %产生x1(n) X1k=fft(x1n,N); %计算N点DFTx1(n) Xk1=fft(x1n,N1); %计算N1点DFTx1(n) %产生序列x2(n
5、),计算DFTx2(n) x2n=cos(pi*n/8); X2k=fft(x2n,N); %计算N点DFTx2(n) Xk2=fft(x2n,N1); %计算N1点DFTx1(n) %产生序列x3(n),计算DFTx3(n) x3n=sin(pi*n/8); X3k=fft(x3n,N); %计算N点DFTx3(n) Xk3=fft(x3n,N1); %计算N1点DFTx1(n) Date8%绘图 subplot(2,3,1);stem(n,abs(X1k),.); title(16点 DFTx1(n); xlabel(k);ylabel(|X1(k)|) subplot(2,3,2);st
6、em(n,abs(X2k),.); title(16点 DFTx2(n); xlabel(k);ylabel(|X2(k)|) subplot(2,3,3);stem(n,abs(X3k),.); title(16点 DFTx3(n); xlabel(k);ylabel(|X3(k)|) k=0:N1-1; subplot(2,3,4);stem(k,abs(Xk1),.); title(8点 DFTx1(n); xlabel(k);ylabel(|X1(k)|) subplot(2,3,5);stem(k,abs(Xk2),.); title(8点 DFTx2(n); xlabel(k);y
7、label(|X2(k)|) subplot(2,3,6);stem(k,abs(Xk3),.); title(8点 DFTx3(n); xlabel(k);ylabel(|X3(k)|) Date9 在截取16点时，得到的是完整的余弦波形；而截取8点时 ，得到的是半截的余弦波形，当然有大量的谐波成分。Date10例7.16 验证N点DFT的物理意义（1）绘出幅频曲线和相频曲线。（2）计算并图示x(n)的8点DFT。（3）计算并图示x(n)的16点DFT。解: 序列x(n)的点DFT的物理意义是 在0，2上进行点等间隔采样。程序先密集采样，绘制出幅频曲线图。然后再分别做8点和16 点DFT来验
8、证这个采样关系。 程序略。Date11图7.16 离散傅里叶变换与傅里叶变换的采样关系Date12频域采样定理 频域采样是指对有限长序列的傅氏变换在频域离散 化得到X(k)的过程。 本节讨论两个基本问题：a：频域采样（DFT）不失真的条件，即由 X (k)不失 真地恢复x(n)的条件b：用X (k)表示X (z)和 的插值公式(内插公式)Date13图3-3-1 时域恢复示意图 结论：若序列长度为L，频域采样点数（DFT的长度） 为N，且LN，则频域采样后可不失真地恢复原序列 ；但若LN，则频域采样后不能不失真地恢复原序列 。Date14例7.17 频域与时域采样对偶性 （1）产生三角波序列
9、（2）对M = 40，计算x(n)的64点DFT，并图示x(n)和X(k) = DFTx(n)，k = 0, 1, , 63。 （3）对（2）中所得X(k)在 0，2 上进行32点抽样得 （4）求 的32点IDFT，即 （5）绘出 的波形图，评述它与x(n)的关系。Date15 % 第七章例7.17程序q717 % 时域与频域采样的对偶性验证 clear;close all M=40;N=64;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n) xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb; Xk=fft(xn,64);%64点FFTx(n) X1k=
10、Xk(1:2:N);%隔点抽取Xk得到X1(K) x1n=ifft(X1k,N/2);%32点IFFTX1(k)得到x1(n) nc=0:3*N/2;% 取97点为观察区 xc=x1n(mod(nc,N/2)+1);%x1(n)的周期延拓序列 subplot(3,2,1);stem(n,xn,.) title(40点三角波序列x(n);xlabel(n);ylabel(x(n)Date16 k=0:N-1; subplot(3,2,3);stem(k,abs(Xk),.) title(64点DFTx(n);xlabel(k);ylabel(|X(k)|) k=0:N/2-1; subplot(
11、3,2,4);stem(k,abs(X1k),.) title(X(k)的隔点抽取);xlabel(k);ylabel(|X1(k)|) n1=0:N/2-1; subplot(3,2,2);stem(n1,x1n,.) title(32点IDFTX1(k);xlabel(n);ylabel(x1(n) subplot(3,1,3);stem(nc,xc,.) title(x1(n)的周期延拓序列 );xlabel(n);ylabel(x(mod(n,32) set(gcf,color,w)Date17Date18 由于频域在0，2上的采样点数N（N = 32）小 于x(n)的长度M（M =
12、40），所以，产生时域混叠现 象，不能由X1(k)恢复原序列x(n)。只有满足NM时 ，可由频域采样X1(k)得到原序列x(n)。 这就是频域采样定理。对NM的情况，请读者自己编程验证。Date19用DFT计算线性卷积0kL-1则由时域循环卷积定理有Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1如果Date20 由此可见， 循环卷积既可在时域直接计算， 也可以按 照图3.4.1所示的计算框图， 在频域计算。 由于DFT有快速算 法FFT， 当N很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用 DFT(FFT)计算循环卷积。 图 3.4.1 用DFT计算循环卷积 Date21 在实际应
13、用中，需要计算两个序列的线性卷积， 与计算循环卷积一样， 为了提高运算速度， 也希望用 DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 为此导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与 线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有限长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下： (3.4.1 ) (3.4.2) Date22 其中，LmaxN, M， 所以对照式(3.4.1)可以看出， 上式中 (3.4.3 ) 即(3.4.3)式说明，yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主 值序列。 yl(n)长度为N+M-1，只有当循环卷积长度L
14、 N+M- 1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓才无混叠现象。Date23图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 Date24 利用DFT进行线性卷积的步骤如下： 1.将序列x(n)和h(n)补零延长，使其长度 2.做x(n)和h(n)的长为L点的DFT得到X(k)和H(k)，求它们的 积Y(k)=X(k)H(k) 3.求Y(k)的IDFT并取前 N1 点获得线性卷积的结果为LN1=N+M-1 y(n)=IDFTY(k)，0nN1 Date25图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图 Date26例7.18 快速卷积快速卷积就是根据DFT的循环卷积性质，将时域 卷积转换为频域相乘，最后再进行IDFT得到时域卷 积序列y(n)。其中时域和频域之间的变换均用FFT实 现，所以使卷积速度大大提高。框图如下: L点FFTL点FFTL 点 IFFTDate27 % 第七章例7.18程序q718 % 快速卷积计算 clear;close all xn=input(请输入x(n)序列：xn= 书上用 sin(0.4*1:15); hn=input(请输入h(n)长度：hn= 书上用 0.9.(1:20); M=length(xn
