掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质)8.6 椭圆 1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的点的轨轨迹叫做椭圆椭圆 (ellipse)．这这两个定点F1、F2叫做椭圆椭圆 的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆椭圆 的焦距．2．椭圆的标准方程(1)设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆焦点F1、F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)．又点M与点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a＞2c＞0)，则椭圆的标准方程是： ＋＝1(其中b2＝a2－c2，a＞b＞0)．(2)设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆焦点F1、F2的坐标分别为(0，－c)，(0，c)．又点M与点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a＞2c＞0)，则双曲线的标准方程是： ＋＝1(其中b2＝a2－c2，a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)简 图范 围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b顶点坐标 ， ，对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O坐标原点O焦点坐标离心率e＝e＝(±a,0)(0，±b)(0，±a)(±b,0)(±c,0)(0，±c)1．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时点P的轨迹是( )A．椭圆B.双曲线C．抛物线D．圆解析：由题图可知PQ＝PA，而OP＋PA＝r(圆的半径)，即PQ＋OP＝r.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆，故选A.答案：A2．椭圆圆 ＋y2＝1的两个焦点为为F1、F2，过过F1作垂直于x轴轴的直线线与椭圆椭圆 相交，一个交点为为P，则则 等于( )解析：本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识．一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径．椭圆、双曲线的通径长为 .本题中|PF1|＝由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4－ .答案：C3．已知F1、F2是椭圆椭圆 的两个焦点，过过F1且与椭圆长轴椭圆长轴 垂直的直线线交椭圆椭圆 于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这则这 个椭圆椭圆 的离心率是( )答案：A4．与圆圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆动圆圆心P的轨轨迹方程为为______________．解析：设动圆的半径为r，动圆圆心P为(x，y)，根据已知条件得|PC1|＝1＋r，|PC2|＝9－r，则|PC1|＋|PC2|＝10.∴P点的轨迹为以C1(－3,0)、C2(3,0)为焦点，长轴长2a＝10的椭圆，则a＝5，c＝3，∴b2＝16，所求椭圆的方程为 ＝1.答案： ＋＝1利用椭圆椭圆 的定义义可推导椭圆导椭圆 的标标准方程，若P是椭圆椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别别是椭圆椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，根据椭圆椭圆 定义义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，可利用所给给的条件解△PF1P2.例如已知P点横坐标为标为 x0，则则利用椭圆椭圆 的第二定义义可求出|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0等． 【例1】 椭圆圆 ＋＝1的焦点为为F1和F2，点P在椭圆椭圆 上，如果线线段PF1的中点在y轴轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍解析：由线段PF1的中点在y轴上知∠PF2F1＝90°，由已知条件a＝2 ，c＝3，∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，即|PF1|2－|PF2|2＝36.①又|PF1|＋|PF2|＝4 ，②②代入①得|PF1|－|PF2|＝3 ，③联立方程组解②③得，|PF1|＝ ，|PF2|＝ .答案：A变式1.设F1、F2为椭圆为椭圆 ＝1的两个焦点，P为椭圆为椭圆 上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶顶点，且|PF1|>|PF2|，求 的值值．解答：解法一：若∠PF2F1为为直角，由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|PF1|2＝ (6－|PF1|)2＋20，得|PF1|＝ ，|PF2|＝ ，故＝ ；若∠F1PF2为为直角，|PF1|＋|PF2|＝6，|PF1|2＋|PF2|2＝20，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故 ＝2.解法二：由椭圆椭圆 的对对称性不妨设设P(x，y)(x>0，y>0)，则则由已知可得F1(－ ，0)，F2( ，0)．根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为为直角，则则P ，于是|PF1|＝ ，|PF2|＝ ，故 ；若∠F1PF2为为直角，则则解得 即P ，于是|PF1|＝4，|PF2|＝2，故 ＝2.求椭圆标椭圆标 准方程的常用方法：(1)求椭圆标椭圆标 准方程除了直接用定义义外，常用待定系数法．(2)确定椭圆标椭圆标 准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆椭圆 与坐标标系的相对对位置，在中心为为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴标轴 上，以判断方程的形式；“定量”是指确定a2，b2的具体数值值，常用待定系数法．(3)当椭圆椭圆 的焦点位置不明确而无法确定其标标准方程时时，可设为设为 ＝1(m＞0，n＞0)，可避免讨论讨论 和繁杂杂的计计算，也可设为设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，这这种形式在解题题中较为较为 方便．【例2】 椭圆C： ＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝ ，|PF2|＝ .(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B且A，B关于点M对称，求直线l的方程．解答：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝ ，故椭圆的半焦距c＝ ，从而b2＝a2－c2＝4.所以椭圆C的方程为 ＝1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圆心 M 的坐标为(－2,1)．从而可设直线 l 的方程为y＝k(x＋2)＋1.代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.因为A，B关于点M对称，所以 ＝2，解得k＝ ，所以直线 l 的方程为y－1＝ (x＋2)，即8x－9y＋25＝0.(经检验，所求直线方程符合题意)变式2.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－ ，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是(1， )．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．解答：(1)∵a＝2，c＝ ，∴b＝ ＝1.∴椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式： ∴又∵ ＝1，∴ ＝1，即为中点M的轨迹方程．(3)设C(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为y＝kx与椭圆方程x2＋4y2＝4联立得，x2＝ ，∴|CB|＝ ·|x1－x2|＝ ·又A点到直线y＝kx的距离d＝ ，于是S△ABC＝ ·|CB|·d＝ ∵S2＝ ＝1－当k＝0时，S2＝1；当k>0时，S2b>0)上一点，F1、F2是椭圆椭圆 的两焦点，且满满足|AF1|＋|AF2|＝4.(1)求椭圆椭圆的两焦点坐标标；(2)设设点B是椭圆椭圆 上任意一点，如果|AB|最大时时，求证证A、B两点关于原点O不对对称；(3)设设点C、D是椭圆椭圆 上两点，直线线AC、AD的倾倾斜角互补补，试试判断直线线CD的斜率是否为为定值值？解答：(1)根据已知条件|AF1|＋|AF2|＝4，且A(1,1)为椭圆上一点知：2a＝4即a＝2，(2)证证明：假设椭圆设椭圆 存在一点B，使A、B两点关于原点O对对称且|AB|为为最大，则则B点坐标为标为 (－1，－1)，|AB|＝2 ，又椭圆椭圆 左顶顶点M(－2,0)到A(1,1)的距离为为|AM|＝ ，|AM|>|AB|与|AB|最大相矛盾，因此B为椭圆为椭圆 上一点当|AB|取得最大值时值时 ，A、B两点不关于原点O对对称．1．求椭圆方程：(1)可通过对条件的“量化”根据两个条件利用待定系数法求椭圆的标准方程；(2)可利用求轨迹方程的方法求椭圆方程．2．(1)如果已知椭圆 ＝1(a>b>0)上一点P，需要解决有关△PF1F2的问题，由于在△PF1F2中已知|F1F2|＝2c，|PF1|＋|PF2|＝2a，如果再给出一个条件，△PF1F2可解．(2)当然如果涉及到椭圆上点到焦点的距离，也可考虑由第二定义和方程推出的结论——焦半径公式|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.【方法规律】3．在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如(1)a＋c与a－c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；(2)椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长 ，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等．4．求椭圆的离心率e＝ 可根据已知条件列出一个关于a、b、c的齐次等式，再结合a2＝b2＋c2可得关于e的方程求解，求椭圆的离心率与求椭圆的标准方程相比较，比求椭圆的标准方程少一个条件. (2007·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O，椭圆 ＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答题模板】解答：(1)设圆C的圆心为A(p，q)，则圆C的方程为(x－p)2＋(y－q)2＝8.∵直线y＝x与圆C相切于坐标原点O，∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y＝x.于是有 由于点A(p，q)在第二象限，故p＜0.∴圆圆C的方程为为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)∵椭圆椭圆 ＝1与圆圆C的一个交点到椭圆椭圆 两焦点的距离之和为为10，∴2a＝10⇒a＝5，故椭圆椭圆 右焦点为为F(4,0)．若圆圆C上存在异于原点的点Q(x0，y0)，且Q(x0，y0)到椭圆椭圆 右焦点F的距离等于线线段OF的长长，则则有|QF|＝|OF|，于是(x0－4)2＋ 由于Q(x0，y0)在圆圆上，故有(x0＋。