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1、 3-6 DFT的性质3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示3-3 周期序列的DFS3-4 DFS的性质3-2 傅氏变换的几种可能形式3-1 引言一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 3-1引言二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化 3-2傅氏变换的几种可能形式时间函数 频率函数连续时间、连续频率傅里叶变换连续时间、离散频率傅里叶级数离散时间、连续频率序列的傅里叶变换离散时间、离散频
2、率离散傅里叶变换时间时间 函数频频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(0=2/T0)离散(T)和非周期 周期(s=2/T)和连续离散(T)和周期 (T0)周期(s=2/T)和离散 (0=2/T0)四种傅里叶变换形式的归纳一、连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换0t0时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。二、连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数0t-0时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2/Tp三、离散时间、连续频率序列的傅里叶变换时域的离散化造成频域的周期延拓，而 时域的非周期
3、对应于频域的连续四、离散时间、离散频率离散傅里叶变换一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因 此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的 和周期的 3-2 周期序列的DFS周期序列的DFS正变换和反变换：其中：可看作是对 的 一个周期 做 变换 然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到1、线性：其中， 为任意常数若则 3-4DFS的性质2、序列的移位3、调制特性4、周期卷积和若则两个周期序列的周期卷积过程*：翻摺、圆周移位、相乘相加（1）画出 和 的图形；（2）将 翻摺,得到 可计算出：返回mm0 1 2 3 4 5返 回 目 录0 1 2 3 4 5 计算区0 1 2 3 4 50 1 2
4、 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5m0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5（3）将 右移一位、得到可计算出：返回目录返回目录m0 1 2 3 4 5m0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5计算区 m 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5计算区 m0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5（4）将 再右移一位、得到可计算出：返回目录（5）以此类推，返回目录n计算区233 2 11返回目录233 2 11233 2 11频
5、域卷积定理如果 ，则证明从略。 本节结束 返回目录同样：X(k)也是一个N点的有限长序列 3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求 余， 即如果n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数，则 (n)N=n1例如：有限长序列及其周期延拓 从DFS到DFT从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在 n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。 因此可得到新的定义，即有限序的 离散傅氏变换(DFT)的定义。有限长序列的DFT正变换和反变换：其中：DFT的隐含周期性n以上定义中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于
6、 的周期性， 使上式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。 对任意整数m， 总有均为整数 X(k)满足同理可证明反变换中 x(n+mN)=x(n)x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点 等间隔抽样；x(n)的N点DFT是x(n) 的DTFT在区间0，2上的 N点等间隔抽样。 3-6 DFT的性质1.线性若x(n)与y(n)是同样长的序列，则对任何实数或复数有 这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且2、序列的圆周移位定义：xm(n)是将x(n)延拓成周期序列后，将周期序列移位，然后 取主值区间的序列值。循环移位示意图+：
7、左移：右移12345n=0N=6返回目录可以看成x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列 x(n)的圆周移位，就相当于x(n)在此圆上旋转，因而 称为圆周移位。圆周移位性质如果那么有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频 谱幅度无影响。证明：令n+m=r， 则有调制特性： 同理可证明频域移位定理若则 有限长序列在时域的相移对应其频域的循环移位3、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：其中：任意序列可表示成 和 之和:其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：圆周共轭对称序列满足：考查序列是否是圆周偶（奇）对
8、称序列的方法：在n=N处，补上与n=0处相同的值，可以看出x1(n)对N/2而言是偶对称的，因 此原序列是圆周偶对称序列。圆周共轭反对称序列满足：同理：其中：序列 DFT共轭对称性Back序列 DFT实数序列的共轭对称性又由于：只要知道一半数目X(k)即可求出所有X(k)，可节约运算。纯虚序列的共轭对称性 序列 DFT只要知道一半数目X(k)即可求出所有X(k)，可节约运算。又由于：例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一 次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: 4、复共轭序列5、DFT形式下的Parseval定理6、圆周卷积和若则周期卷积圆周卷积过程： 1）补零 2）周期延拓
9、 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加NNN周期卷积2.时域圆周卷积过程N-10nN-10n周期卷积0m0m0m0m返回目录返回目录0233211N-1nN最后结果：返回目录同样，利用对称性若则7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积线性卷积：N点圆周卷积：NN讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；对x2(n)周期延拓：圆周卷积：N小结：线性卷积求解方法n时域直接求解 补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n) = x(n)*h(n)nz变换法nDFT法8、线性相关与圆周相关线性相关：自相关函数：相关的求解与卷积和的求解类似，但相关没有“翻褶”这一步骤 ，只包括平移、相乘相加相关函数不满足交换率：相关函数的z变换：相关函数的频谱：圆周相关定理当 时， 圆周相关可完全代表线性相关类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系频率采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。第三章作业n3-6n3-8n3-11
