自由曲线和曲面

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1、哈尔滨工业大学计算机学院 唐好选*自由曲线和曲面自由曲线和曲面曲线分类规则曲线：可用初等解析函数来表示 如圆、椭圆、双曲线、圆球、圆柱、圆锥等 自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用 初等解析函数来描述的光滑连续性曲线 如汽车车身、船体外壳和飞机机翼等 随机曲线：处处连续，处处不光滑且处处 不可导的非规则曲线 如地图边界、海岸线、水波以及超声等计算几何 1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义 CAGD (Computer Aided Geometrical Design) 1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一

2、次国际 会议上提出 涉及到计算几何、微分几何、数值分析、拓扑论和 数控技术等内容 对自由曲线和曲面的表示是CAGD技术要研究的主 要内容研究分支 对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示CAGD的研究内容 曲线和曲面的基本理论，包含曲线论、曲面论，曲线曲 面表示的几何不变性，参数化和参数变换 参数多项式的插值和逼近，参数样条曲线，样条曲线的 几何连续性 Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面、孔斯曲面和非均匀有 理B样条与高维曲面的生成和性质及其应用从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性：要求所采用的数学方法应满足由已经给 定的有限信息决定的形状是唯一

3、的（2）几何不变性：当用有限的信息决定一个曲线时， 曲线的形状应是确定的，不应随所取坐标系的不同 而改变形状数学描述的基本要求(1)（3）易于定界：曲线应是有界的，对形状的数学描述 应易于定界（4）统一性： 要能统一表示各种形状及处理各种情况统一表示各种形状及处理各种情况, ,包含各种包含各种 特殊情况，例如曲线描述要求用一种统一的形式表特殊情况，例如曲线描述要求用一种统一的形式表 示平面曲线和空间曲线示平面曲线和空间曲线 更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能 表示自由曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，表示自由曲线曲面，也能表示初等解析曲线

4、曲面， 从而建立统一的数据库，便于形状信息的传递从而建立统一的数据库，便于形状信息的传递形状数学描述的基本要求（2）从形状表示与设计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接：曲线段，曲面片之间的连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观：容易为工程技术人员理解和接受形状数学描述的基本要求（3） 曲线的表示形式 非参数表示 显式表示隐式表示曲线曲面的表示形式（1）非参数方程存在如下问题 形状与坐标轴相关 会出现斜率无穷大的情况 对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示 不便于编程和计算机处理 从计算机图形学和计算几何的角度看，采用参数表 示曲线和

5、曲面，可以有效解决上述问题曲线曲面的表示形式（2）参数表示：空间点P的每一个坐标均可被表示为 某个参数t的函数参数的含义 时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间0,1曲线曲面的表示形式（3）参数矢量表示形式 P(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t) ,等价于笛卡儿分量表示: P(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k 例子：直线段的参数表示曲线曲面的表示形式（4）参数表示的好处: 容易进行物理解释 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein 基和B样条函数，有明显的几何意义曲

6、线曲面的表示形式（5）参数连续性 传统的、严格的连续性 称曲线P = P(t)在t=t0处n阶参数连续，如果它 在t0处n阶左右导数存在，并且满足记号参数的连续性（1） 几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处 位置连续，即记为 1阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处1阶几何连续，如果它在该 处 ,并且切矢量方向连续记为参数的连续性（2）2阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处2阶几何连续，如果它在 处（1）（2）副法矢量方向连续（3）曲率连续参数的连续性（3）自由曲线曲面的发展过程（1） 1963年，美国波音飞机公司，Fergu

7、son(菲格森)首先提出了将曲线、曲面表示为参数的矢函数的方法，引入三次 曲线构造了组合曲线和由四个角点的位置矢量及两个方 向的切矢量定义的双三次曲面片 所采用的曲线曲面的参数形式定义成为自由曲线和曲面 数学描述的标准形式 1964年，美国MIT孔斯(Coons)提出了具有更一般性的曲面描述方法 通过给定围成该曲面的4条边界就可定义一个曲面片形状控制与连接方面不完善自由曲线和曲面的发展过程（2） 1964年，舍恩伯格提出了样条函数(Spline Function)，解决了曲线段和曲面片的连接问题，采用参数形式的样条方法 描述自由曲线和曲面 采用样条方法解决插值问题，为构造整体达到某种参数 连续

8、性的插值曲线和曲面提供了方便 但局部形状控制不方便，形状难以预测自由曲线和曲面的发展过程（3） 1971年，法国雷诺汽车公司Bezier(贝塞尔)以逼近为基础研究曲线、曲面的构造方法 提出了由控制多边形定义曲线的方法，改变顶点位置即可 修改曲线形状，形状的变化完全在设计者的预料之中，著 名的Bezier曲线和曲面 方法简单易行，成功解决了曲线曲面的整体形状问题，工 程中可广泛采用 但连接和局部形状控制方面还存在问题自由曲线和曲面的发展过程（4） 1972年德布尔给出了一套关于B样条的标准算法，1974年， 美国通用汽车公司，Cordon(戈尔当)和Riesenfeld (瑞森菲尔 德)将B样条

9、理论应用于自由曲线（面）的描述，给出了B样条曲线曲面 克服了Bezier方法的不足，解决了局部形状控制问题，并在参数连续性基础上解决了连接问题 B样条曲线和曲面具有局部修改方便，形状控制灵活和简明直观等优点，是当前构造曲线曲面的主要方法自由曲线和曲面的发展过程（5） 尽管各种各样的描述方法逐步解决了自由曲线和曲面的数 学描述问题，但却无法成功应用于圆锥截线和初等解析曲 面的描述，虽然个别方法能解决这些问题，但描述方法违 背了唯一性原则，给应用造成了困难 1975年，美国沃斯普利勒（Versprille）提出了有理B样条， 80年代，又出现了非均匀有理B样条(NURBS)方法，成为自由曲线和曲面

10、描述最广泛的技术 由于非有理Bezier曲线（面）和有理Bezier曲线（面）及 NURBS曲线（面）都被统一在NURBS标准形式中，可采用统一的数据库自由曲线和曲面的发展过程（6）已知条件的表示方法一系列有序的离散数据点型值点控制点边界条件连续性要求根据上述条件绘制曲线的方法：插值、逼近和拟合曲线曲面插值方法（1） 插值(Interpolation)：假如一个给定的函数f(x)在区间a,b中 有互异的n个数据点(xi,f(xi) (i=1,2,n)，基于这n个数据点 ，寻找某函数曲线(x)，使得(x)顺序通过这些数据点，也 就是使得(x)在xi处的函数值与f(xi)相等，这种拟合方法称 为插

11、值，称(x)为f(x)的插值函数点点通过型值点 插值算法 线性插值：用线性函数近似代替f(x) 抛物线插值：用抛物线函数近似代替f(x) 型值点过多时，构造插值函数相当困难，有时也没有必要曲线曲面插值方法（2） 逼近(Approximation)：构造曲线不必严格通过已知的每一个数据点，近似接近即可 提供的是存在误差的实验数据 最小二乘法：各点偏差的平方和最小或加权方差最小 ，对可靠的点赋予较大的权值 统计回归分析 提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点 Bezier曲线、B样条曲线等曲线曲面插值方法（3） 光顺：曲线的拐点不能太多，消除多余的拐点 对于平面曲线，相对光顺的条件是： 具有二阶几何连

12、续G2不存在多余拐点和奇异点 曲率变化较小 在不改变曲线两端点切线方向的条件下，修改切向量的模可 消除多余的拐点、尖点和二重点 对于不同的曲线和曲面，相应的光顺算法也不同曲线曲面插值方法（3） 拟合(Fitting)：指利用插值或逼近的方法使所生成的曲线达到某些设计要求，或使得所生成的曲线光滑 如在允许的范围内贴近原始的型值点和控制点序列 曲线曲面看上去“光滑”、“光顺”，光滑指切矢量上的连续性或更高要求的曲率的连续性曲线曲面插值方法（4）参数多项式曲线（1）参数多项式曲线表示最简单，理论和应用最成熟 定义n次多项式曲线参数多项式曲线（2） 矢量表示形式加权和形式缺点 没有明显的几何意义 与曲

13、线的关系不明确，导致曲线的形状控 制困难参数多项式曲线（3）矩阵表示 矩阵分解（表示为几何矩阵和基矩阵的乘积）几何矩阵由控制顶点表示 确定了一组基函数参数多项式曲线（4）例如：直线段的矩阵表示P0P1P0+P1几何矩阵G基矩阵MT样条与样条插值（1）在计算机图形学中，样条曲线是指由多 项式曲线段连接而成的曲线，在各段的 边界处应满足特定的连续条件 样条曲面可由两组正交的样条曲线表示样条与样条插值（2）在样条生成的过程中，首先给出一组坐标位置，它 们决定了曲线的大致形状，称这些坐标点为控制点当选取的多项式使曲线通过每个控制点时，所得曲 线称为这组控制点的插值样条曲线当多项式的选取使曲线不一定通过

14、每个控制点时， 所得曲线称为这组控制点的逼近样条曲线样条与样条插值（3）凸包：包围一组控制点的凸多边形的边界称作凸包 (Convex Hull)，每个控制点要么在凸包的边界上， 要么在凸包内部 控制多边形：连接控制点序列的折线，或称为特征 多边形样条与样条插值（4）样条的描述 给出一组加在样条上的边界条件 给出刻画样条特征的多项式 给出确定如何组合指定的曲线几何约束条件来计 算曲线路径位置的一组混合函数（基函数）样条与样条插值（5）样条的插值 用来建立物体运动路径或描述形体的表示 由于高次样条计算复杂，低次样条曲线的性能又 有限，实际通常采用三次样条表示，是在定义曲 线的灵活性和处理速度之间的

15、一个折中，在模拟 曲线形状时更具灵活性 常用的插值方法有： 自然三次样条插值 Hermite插值P0P1P2Pk Pk+1Pn-1Pn 给出一组控制点，可得到通过每个控制点的分段三次多项式曲 线的三次插值样条 设有n+1个控制点，拟合各个控制点的三次多项式表示为： P(u)=au3+bu2+cu+d，0u1，每段均有四个待定参数，在曲线 段的交点处设置边界条件可求出系数，如何建立边界？样条与样条插值（6）自然三次样条插值 采用公式描述时，需要相邻曲线段在公共边界处有C2连续性 对于具有n+1个控制点的自然三次样条有n+1个控制点需要拟合 ，共有n个曲线段计4n个多项式系数待定 内控制点两侧的曲线段在控制点处具有相同1阶导数和2阶导数 ，且均通过控制点，加上起点和末点共4n-2个方程，还需要两个条件 假定P0和Pn处2阶导数为0 加两个虚控制点，可保证n+1个点均为内控制点 是一种有效的方法，但其中任何一个控制点的改动都会影响到 整个曲线的形状，局部控制特性不好三次Hermite曲线(1/7)定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次 多项式曲线P(t)为Hermite曲线P0P1R0R1三次Hermite曲线(2)矩阵表示 条件 合并 解三次Hermite曲线