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1、第七章：小波和多分辨率处理数字图像处理A第七章：小波和多分辨率处理n小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。n多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。n本章将从多分辨率的角度解释小波变换。数字图像处理A主要内容7.1 背景7.2 多分辨率展开7.3 一维小波变换7.4 快速小波变换7.5 二维小波变换7.6 小波包数字图像处理A主要内容7.1 背景n图像金字塔n子带编码n哈尔变换7.2 多分辨率展开7.3 一维小波变换7.4 快速小波变换7.5 二维小波变换7.6 小波包
2、数字图像处理A7.1 背景从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像 边界和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产生 统计值的局部变化。如图7.1所示。图7.1 一幅自然图像和它的局部直方图变化数字图像处理A7.1.1 图像金字塔图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有 效但概念简单的结构。图7.2 (a) 一个图像金字塔第0级（顶点）第1级第2级第J-1级第J级（底部）数字图像处理A7.1.1 图像金字塔金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示， 而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层 移动时，尺寸和分辨率就降低。图7.2 (a) 一个图像金字塔第0级（顶点）第1级 第2级第J-1级第
3、J级（底部）基础级J的大小为NN （J=log2N） 顶点级0的大小为11 第j级的大小为2j2j （ 0j J）共有J+1级，但是通常 我们截短到P1级，其 中1 PJ数字图像处理A7.1.1 图像金字塔如图7.2(b) 框图所表明的，近似值和预测残差 金字塔都是以一种迭代的方式进行计算。图7.2 (b) 创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统近似滤波器下采样器（行和列）第j级输入 图像上采样器（行和列）第j-1级近似插值滤波器预测 第j级预测 残差数字图像处理A7.1.1 图像金字塔n传递由3个连续步骤组成：n1.计算输入图像减少的分辨率近似值。通过对输入 进行滤波并以2为步长进行抽样实现
4、(即子抽样)。没 有滤波器，在金字塔的上一层混淆变得显著，子抽 样点对所采取的区域没有很好的代表性。图7.2 (b) 创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统数字图像处理A7.1.1 图像金字塔n传递由3个连续步骤组成：n2.对上一步的输出进行内插因子仍为2并进行 过滤。这将生成与输入等分辨率的预测图像。由于 在步骤1的输出像素之间进行插值运算，插入滤波 器决定了预测值与步骤1的输入之间的近似程度。 如果插入滤波器被忽略了，预测值将是步骤1输出 的内插形式，复制像素的块效应将变得很明显。图7.2 (b) 创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统数字图像处理A7.1.1 图像金字塔n传递由3个连续步
5、骤组成：n3.计算步骤2的预测值和步骤1的输入之间的差异。 以j 级预测残差进行标识的这个差异将用于原始图 像的重建(见例7.1)。在没有量化差异的情况下，预 测残差金字塔可以用于生成相应的近似金字塔，包 括原始图像，而没有误差。图7.2 (b) 创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统数字图像处理A7.1.1 图像金字塔n例7.1 高斯和拉普拉斯金字塔图7.3显示了图7.1中花瓶的一种可能的近似值和 预测残差金字塔。图7.3 两种图像金字塔及它们的直方图：（a）近似金字塔；（ b）预测残差金字塔（a）(b)数字图像处理A7.1.2 子带编码n子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术 在子带编码中
6、，一幅图像被分解为一系列限带 分量的几何，称为子带。n子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。n每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。n子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息 损失的抽样n原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个 子带来完成数字图像处理A7.1.2 子带编码n因为分解和重建是借助数字滤波器实现的，所以 我们的讨论从数字信号处理（DSP）和数字信号 滤波的简介开始。图7.4为简单数字滤波器。f(n)f(n-0)f(n-1)f(n-2)f(n-K+1)h(0)+单位延迟单位延迟单位延迟h(1)h(2)h(K-1)h(0)f(n)+h(1)f(n-1)h(0)f(n)+h(
7、1)f(n-1)+h(2)f(n-2)图7.4 （a）数字滤波器数字图像处理A7.1.2 子带编码n数字滤波器由延迟单元、乘法器和加法器组 成。从滤波器的顶部开始，延迟单元依次连 接建立输入法延迟形式。n如图7.4(a)中的注释所指出的，输入序列 f(n)的延迟单元输出的K-1延迟序列分别与常 数h(0),h(1),h(k-1)相乘后求和，可产生滤波 后的输出序列：(7.1.3)其中，* 表示卷积，乘数K 称为滤波系数。数字图像处理A7.1.2 子带编码n如果输入到图7.4(a)的滤波器是图7.4（b）和 4.2.3节中的离散单位冲激，则式（7.1.3）变 为(7.1.4)图7.4 （b）单位
8、离散冲激响应;（c）滤波器的冲激响应数字图像处理A7.1.2 子带编码n图7.5显示了6个功能上相关的滤波器的冲激 响应。图7.5 6个功能上相关的滤波器的冲激响应:(a)参考响应;（b） 符号的反转;（cd）顺序反转; (e)调制;（f）顺序反转和调制h2(n)=-h1(n)h3(n)=h1(-n)h1(n)h4.(n)=h1(K-1-n)h5(n)=(-1)nh1(n)h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)数字图像处理A7.1.2 子带编码n图7.5(c)和(d)中的滤波器h3(n)和h4(n)的顺序 反转形式：h3(n)=h1(-n)h4.(n)=h1(K-1-n)n滤波器h3(n)是
9、h1(n)关于垂直轴的映像；滤 波器h4(n)是h1(n)的映像和平移形式。忽略 平移两个滤波器的响应相同。图7.5（e）中 的滤波器h5(n)由下式定义,称之为h1(n) 的调 制形式：(7.1.6)(7.1.7)h5(n)=(-1)nh1(n)(7.1.8)数字图像处理A7.1.2 子带编码n最后图7.5（f）显示的序列是h1(n)的顺序 反转形式，它被调制了：n综上6个序列说明了这样一个事实，即在规 定两个滤波器之间的关系时，符号反转、顺 序反转和调制有时时合并在一起的。h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)(7.1.9)数字图像处理A7.1.2 子带编码图7.6(a)显示了两段子带编
10、译码系统的基本部分f 分析滤波器组综合滤波器组低频带高频带图7.6 （a）一个二带子带编码和解码系统；（ b）频谱分裂属性ab数字图像处理A7.1.2 子带编码n因此，FIR综合滤波器是分析滤波器的交叉调制的 副本，有且仅有一个符号相反。为完美重构，综合 滤波器和分析滤波器的冲激响应必须按如下两种方 式之一联系起来：或n更有普遍意义的表达式n满足该条件的滤波器组称为具有双正交(7.1.10)(7.1.12)(7.1.11)数字图像处理A7.1.2 子带编码(正交镜像滤波器)(共轭正交滤波器)表7.0 完美重建滤波器族n在双正交的基础上进一步要求n这对可完美重建的滤波器族定义了正交性。(7.1.
11、13)数字图像处理A7.1.2 子带编码(7.1.14)n除式（7.1.13）外，可以证明正交滤波器满 足如下两个条件：其中，Keven的下标指出滤波器系数值必须是能被2整 除的数。正如7.14指出的那样，综合滤波器g1通过顺 序反转和调制与g0建立联系。数字图像处理A7.1.2 子带编码n表7.0中的一维滤波器也可用于图像处理的二维可分 离滤波器。如图7.7所示。可分离滤波器首先应用于 某一维(如垂直向)，再应用于另一维(如水平向)。行（沿m）行列（沿n）列列列图7.7 子带图像编码的一个二维4带宽滤波器组数字图像处理A7.1.2 子带编码n例7.2 图7.1中花瓶的4带宽子带编码图7.8显
12、示了一个8抽头正交滤波器的冲激响应。数字图像处理A7.1.2 子带编码n使用7.7所示的子带编码系统对图7.1中的花瓶进行 4个子带分离得到图7.9ba cd图7.9 (a)近似子带；（b）水平细节子带；（c）垂直细 节子带；（d）对角线细节子带数字图像处理A7.1.3 哈尔变换n哈尔变换(Haar)是与多分辨率分析有关的图 像处理手段之一。n哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可 以用下述矩阵形式表达：T=HFHT其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN 变换矩阵，T是NN变换的结果(7.1.15)数字图像处理A7.1.3 哈尔变换n哈尔变换的变换矩阵H包含哈尔基函数hk(z) ，它们定义在连续
13、闭区间z0,1， k=0,1,2,N-1，这里N=2n。n为生成H矩阵，定义整数k，即k=2p+q-1(这 里0pn-1, p=0时，q=0或1，p0时， 0q2p)。n 可得哈尔基函数为：(7.1.16)数字图像处理A7.1.3 哈尔变换且nNN哈尔变换矩阵的第i行包含了元素hi(z) ，其中z=0/N，1/N，2/N，(N-1)/N 。(7.1.17)数字图像处理A7.1.3 哈尔变换n22哈尔变换矩阵H4(7.1.18)n它的基函数仅定义了2抽头FIR滤波器族 ，可满足表7.1中第一行第一列的QMF 滤波器原型的规范。n相应QMF分析滤波器h0(n)和h1(n)的系数分别是矩阵H2的第一
14、行和第二行的元素。数字图像处理A7.1.3 哈尔变换n例如，N=4时，k，q和p值如下：n44哈尔变换矩阵H4(7.1.19)数字图像处理A7.1.3 哈尔变换例7.3 离散小波变换的哈尔函数6464128128256256图7.10 (a) 用H2哈尔基函数的离散小波变换，并显示了 局部直方图的变化；（b）（d）几种不同的近似数字图像处理A主要内容7.1 背景7.2 多分辨率展开n级数展开n尺度函数n小波函数7.3 一维小波变换7.4 快速小波变换7.5 二维小波变换7.6 小波包数字图像处理A7.2 多分辨率展开n图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学 理论多分辨率分析中扮演了重要角色。n
15、在多分辨率分析( MRA )中，尺度函数被用 于建立某一函数或图像的一系列近似值，相 邻两近似值之间的近似度相差2倍。n被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之 间的差异进行编码。数字图像处理A7.2.1 级数展开n信号或函数常常可以被很好地分解为一系列 展开函数的线性组合(7.2.1)n展开集合的闭合跨度，表示为：(7.2.2)(7.2.3)数字图像处理A7.2.1 级数展开n由于展开集合的正交性，该计算可以是3种可能形式中的一种。n情况1：如果该展开函数构成了V的一个正交基，即：(7.2.4)n基与它的对偶相等。即：(7.2.5)数字图像处理A7.2.1 级数展开n情况2：如果该展开函数本身
16、不正交，而是 V的正交基，则：(7.2.6)n基函数及其对偶称为双正交。使用式(7.2.3)计算 ，有：(7.2.7)数字图像处理A7.2.1 级数展开n情况3：如果展开集合对V来说不是函数基，但支持式(7.2.1)中定义的展开，那么它是一个跨度集合，对于任一f (x)V有一个以上k集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们组成了一个框架，其中：n对于某些A0，B，及所有f(x)V。若 A=B(7.2.8)(7.2.9)数字图像处理A7.2.2 尺度函数n由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数组成的展开函数集合，即集合n其中，(7.2.10)数字图像处理A7.2.2 尺度函数n设j=j0，展开集合将是的子集n该子空间定义为：(7.2.11)
