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1、初等模型 中国地质大学数学建模基地初等模型l如果研究对象的机理比较简单，一般用静 态、线性、确定性模型描述就能达到建模 的目的时，我们基本上可以用初等数学的 方法来构造和求解模型。通过下面的几个 实例我们能够看到，用很简单的数学方法 就可以解决一些有趣的实际问题。第二章 初等模型2.1 舰艇的会合2.2 公平的席位分配2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离2.5 崖高的估算某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。2.1 舰艇 的会合令：则上式可简记成 ：A(0,b )
2、XYB(0,-b)P(x,y)O航母 护卫舰 1 2 即：可化为：记v2/ v1=a通常a1 则汇合点 p必位于此圆上。 （护卫舰的路线方程）（航母的路线方程 ）即可求出P点的坐标和 2 的值。本模型虽简单，但分析 极清晰且易于实际应用 2.2 公平的席位分配l设有A、B两个单位，各有人数 、 个，现在要 求按人数选出 个代表召开一次代表会议。那么 怎样分配这 个席位呢？一般的方法是令： l若 恰好是两个整数，就以 分别作为A， B两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的 分配方案。当 不是两个整数时，那么怎样 分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。 公平的席位分配系别 学生 比例 20席
3、的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 乙 63 31.5丙 34 17.0总和 200 100.0 20.0 2021席的分配比例 结果10.8156.615 3.570 21.000 21问 题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比 例 加 惯 例对 丙 系 公 平 吗系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.
4、4 总和 200 100.0 20.0 20系别 学生 比例 20席的分配人数 （%） 比例 结果甲 103 51.5 10.3 10乙 63 31.5 6.3 6丙 34 17.0 3.4 4总和 200 100.0 20.0 2021席的分配比例 结果10.815 116.615 73.570 321.000 21“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2当p1/n1= p2/n2 时，分配公平p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1
5、=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对A的不公平 程度已大大降低!虽二者的绝对 不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平 对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即“公平”分配方法若 p1/n1 p2/n2 ，定义1）若 p1/(n1+1) p
6、2/n2 ， 则这席应给 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1, n2)应计算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹 车 距 离反应时间司机 状况制动系统 灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比 ，使汽车作匀减速运动。车速常数反 应 距 离制 动 距 离常数假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2
7、之和2. 反应距离 d1与车速 v成正比3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变;F d2= m v2/2F mt1为反应时间且F与车的质量m成正比 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模 型最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间车车速 (英里/小时时) (英尺/秒)实际实际 刹车车距离 （英尺）计计算刹车车距离 （英尺）刹车时间车时间 （秒） 2029.342（44）39.01.5 3044.073.5（78）76.61.8 4058.7116（124）126.22.1 5073.3173（186）187.82.5 6
8、088.0248（268）261.43.0 70102.7343（372）347.13.6 80117.3464（506）444.84.3“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”模 型车车速 (英里/小时时)刹车时间车时间 （秒） 201.5 301.8 402.1 502.5603.0 703.6 804.3车车速（英里/小时时）010104040606080 t（秒）12342.5 崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只
9、具有跑 表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5 米。我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力 。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落 的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得 ： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再积分一次，得： 若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑不妨设平均反应时间
10、 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e-kt用泰勒公式展开并 令k 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个 方程组： 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， 为了估算崖高 竟要去解一个 非线性主程组 似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石 块下落时间 t1t-t2将t1代入式再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t20.21 秒，故 t13.69秒，求得 h62.3米。
