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1、8.2-8.2-1 18.2 一阶电路：零状态响应与全响应8.2.1 零状态响应 8.2.2 一阶电路的完全响应8.2.3 三要素法8.2.4 一阶电路的单位阶跃响应 8.2-8.2-2 28.2.1 零状态响应的概念o零状态响应 一阶电路微分方程的一般形式为 y ( t ) + a y( t ) = f( t )当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生 的响应（电压或电流）称为零状态响应（或称受 激响应）。 o求解公式 8.2-8.2-3 3依此可以导出求零状态响应y( t )的一般方法。将上式两边乘以eat，得eat y ( t ) + aeat y( t ) = eat f( t )即
2、从0 到t积分上式，有即设激励f( t )在t = 0加入，它不可能在t = 0以前引起响应，故y( 0 ) = 0，从 而得零状态响应8.2-8.2-4 4oRC电路的零状态响应（电容的充电，直流输入） 电路方程图8-88.2-8.2-5 5利用公式8.2-8.2-6 6列方程：iK(t=0)US+uR C+uCRuC (0-)=0 非齐次线性常微分方程解答形式为：齐次方程的通解非齐次方程的特解p RC电路的零状态响应的经典解法8.2-8.2-7 7与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量变化规律由电路参数和结构决定全解uC (0+)=A+US
3、= 0 A= - US由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A齐次方程 的通解：特解（强制分量）：通解（自由分量，暂态分量）8.2-8.2-8 8强制分量(稳态)自由分量(暂态)-USuC“uCUSti0tuc08.2-8.2-9 9能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量 储存在电容中。电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US8.2-8.2-1010uR和uC在不同时刻的值 t00.3680.632200.1350.865300.0500.95400.0180.982500.0070.993看曲线规律。 8.2-8.2-1111oRL电路的零状态响应（直流输入）电
4、感初始电流为零，当t=0时合上 开关S，该电路实质上就是电感 从电源吸收能量转换为磁场能量 储存起来的响应过程。由KVL得：此方程的解为8.2-8.2-1212其中， 为方程的一个特解，是换路后的稳态解 ，与外加激励有关，与RC电路零状态响应相似，也称 为强制分量，由换路后的稳态电 路可以看出为该电路对应的齐次方程的解。该解与外加激励无关，也称为自由分量。，其中A为待定系数 代入初始条件得8.2-8.2-1313所以： 并且可得： 8.2-8.2-14148.2.2 一阶电路的完全响应 全响应及其分解电路在外加激励和动态元件初始储能的共同作用下产生的响应称为全响应。由于一阶电路只含有一个动态元
5、件(电容或电感)，因此可应用戴维宁定理，将原电路简化等效成如图1所示的两种形式。根据KL及元件VCR，分别列出以电 容电压uC(t)和电感电流iL(t)为响应变量的电路方程，整理后有 8.2-8.2-1515图 1 一阶电路 8.2-8.2-1616式中，b为常数；为电路的时间常数，对RC电路，=R0C, 对于RL电路有=L/R0。式(1)是一阶非齐次微分方程，它与前面讨论的零状态响应求解方程形式相同，求解过程也相同，只是两种情况下，电路初始储能或响应的初始条件不同，方 程解中积分常数A具有不同数值而已。 (1) 8.2-8.2-1717式(1)的解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成。考虑
6、到微分方程的特征根 ，齐次解 (A为积分常数)， 因此， 全响应y(t)可表示为 (2) 设全响应y(t)的初始值为y(0+)，将它代入上式，解得 A=y(0+)-yp(0+) 再将A代入式(2)，得电路全响应解为 (3) 8.2-8.2-181882.3 三要素法在式(3)中， 我们给出了一阶电路在一般信号f(t)激励下响应的计算公式，本节在上述基础上，进一步推导出直流激励下一阶电路响应的实用计算方法，即 三要素法。当激励f(t)为直流时，微分方程的特解是常数。令yp(t)=C, 显然有yp(0+)=C, 将它们代入式(3)， 得 (4) 8.2-8.2-1919通常情况下，电路时间常数0，
7、称这种电路为正电 路。对于正电路，当t时，由上式可解得 将C代入式（3)求得激励为直流时一阶电路的响应为 (5) 8.2-8.2-2020根据不同观点，电路全响应可按以下几种方式进行分解。 式(5)中等号右边第一项(即特解)的函数形式取决于激励信号的变化规律，称为强迫响应。第二项(即齐次解)按指数规律变化，变化的快慢程度取决于电路微分方程的特征根，该项函数形式与激励无关，故称为自由响应，自由响应反映了电路的固有特性。全响应=强迫响应（稳态响应）+自由响应（瞬态响应）8.2-8.2-2121如果除独立电源外，视动态元件的初始储能为电路的另一种激励，那么根据线性电路的叠加性质，电路响应是两种激励各
8、自作用时响应的叠加。全响应=零输入响应+零状态响应上述电路全响应的不同分解方式，为电路响应的 分析计算提供了不同途径和方法。 8.2-8.2-2222图2 电压uC及其储分量的波形 t0 8.2-8.2-2323o响应的分解（一般输入）如图8-9所示电路，输入uS( t ) = (1 e2t)，t 0；求t 0时响应uC( t ) 。开关打开前电路已处稳态。图8-98.2-8.2-2424初始状态： uC( 0 ) = 6V起始值： uC( 0+ ) = uC( 0 ) = 6Vt 0时电路方程：零输入响应：零状态响应：8.2-8.2-2525完全响应：8.2-8.2-26261. 初始值y(
9、0+)响应初始值的计算步骤是：(1) 计算t=0-时刻电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)；(2) 由换路定律求得独立初始值uC(0)=uC(0-)或iL(0+)= iL(0-)；(3) 画t=0+时等效电路。依据置换定理将电容元件用电压为uC(0)的电压源代替，电感元件用电流为iL(0+)的电流源代替。(4) 求解0+等效电路得到非独立初始值。 8.2-8.2-27272. 稳态值y()由于换路后t时电路已进入稳态。在直流激励下， 电路中电流、电压不再变化，故此时电容相当于开路，电感相当于短路。依此画出t=时的等效电路(为电阻性电路)，并求解得到响应的稳态值y()。 8.2-8.2-2
10、8283. 时间常数对于一阶RC电路，其时间常数=R0C；对于一阶RL电路， 其时间常数=L/R0。这里R0是换路后从动态元件C或L看过去的戴维宁等效电阻。 8.2-8.2-2929例 1 图 (a)所示电路，t=0时开关S闭合，闭合前电路处于稳定。求t0时的电感电流iL。 8.2-8.2-3030解 (1) 求iL(0+)。开关闭合前电路处于稳定，电感看作短路，iL(0-)=Is=3A，根据换路定律，有 (2) 求iL()。 8.2-8.2-3131(3) 求。 (4) 求iL 8.2-8.2-3232例2如图(a)电路已处于稳态，t=0时开关S由a打向b,求t0+时电压u(t)的零输入响应
11、ux(t)、零状态响应uf(t)及全响应u(t)，并画出它们的波形图。 8.2-8.2-3333解 设电流iL的参考方向如图(a)中所标。由题意知t=0-时电路已处于直流稳态，L相当于短路，所以应用电阻并联分流公式，得 由换路定律，知 iL(0+)=iL(0-)=3 A 8.2-8.2-3434(1) 计算零输入响应ux(t)。当t0+时，令输入为零(将12 V电压源短路)的电路如图(b)所示。显然容易求得3个要素分别为iLx()=0 代入三要素公式，求得 t0+ 8.2-8.2-3535再应用电阻并联等效及欧姆定律， 得 t0+ 8.2-8.2-3636(2) 计算零状态响应uf(t)。当t
12、0+时，设电感元件上储能为0，即初始状态为零(iLf(0+)=0)，仅由t0+时的输入作用的电路如图(c)所示。因 iLf(0+)=0 故t=0+时，电感支路开路，所以 8.2-8.2-3737图(c)中时间常数与图(b)中时间常数相同，仍为 。 所以再次代入三要素公式， 得 t0+ (3) 计算全响应u(t)。将零输入响应ux(t)与零状态响应uf(t)相加，便得全响应： t0+ 画ux(t)、uf(t)、u(t)的波形图如图(d)中所示。 8.2-8.2-38388.2.4 一阶电路的单位阶跃响应 8.2.4.1 单位阶跃函数单位阶跃函数用(t)表示，其定义为 图8.4-1 单位阶跃函数
13、8.2-8.2-3939(t)乘以常量A， 所得结果A(t)称为阶跃函数， 其表达式为 其中阶跃幅度A称为阶跃量。8.2-8.2-4040阶跃函数在时间上延迟t0，称为延迟阶跃函数。波形如图 (b)所示，它在t=t0处出现阶跃，数学上可表示为 图8.4-2 阶跃函数8.2-8.2-4141图 8.4-3 用(t)表示开关动作 8.2-8.2-4242阶跃函数的另一个重要应用是以简洁的方式表示某些信号。如图8.4-4(a)所示矩形脉冲信号，可以看 成是图(b)所示两个延迟阶跃信号的叠加， 即 图 8.4-4用(t)表示矩形脉冲信号 8.2-8.2-4343此外，还可用(t)表示任意函数的作用区间
14、。设给定信号f(t)如图所示， 如果要求f(t)在t=0时开始作用， 那么可以把f(t)乘以单位阶跃函数(t)，如图 (b)所示。 如果要求f(t)在区间(t1,t2)上的信号起作用，那么只需将f(t)乘以(t-t1)-(t-t2)即可， 波形如图 (c)所示。 图8.4-5 用(t)表示信号的作用区间 8.2-8.2-44448.2.4.2 阶跃响应电路在单位阶跃函数激励下产生的零状态响应 称为单位阶跃响应，用g(t)表示。在阶跃函数作用下，电路的零状态响应称为阶跃响应。单位阶跃函数(t)作用于电路相当于单位直流源(1V或1 A)在t=0时接入电路，因此对于一阶电路，电路的单位阶跃响应可用三
15、要素法求解。8.2-8.2-4545例：电路如图所示，已知is(t)作用于电路，uc(0)=0，求uc(t) ，t0。解：因为 其中，为阶跃输 入信号，为延迟阶跃输 入信号；8.2-8.2-4646作用时， 作用时， 由叠加定理可知， 8.2-8.2-4747对于时不变电路，其零状态响应的函数形式与激励接入电路的时间无关，称为电路的时不变性质。若用下列符号表示激励与零状态响应之间的关系： f(t)yf(t) 则时不变性质可表示为 f(t-t0)yf(t-t0) 即若激励f(t)延迟了t0时间， 则零状态响应的波形不变，只是在时间上同样延迟了t0 ， 图说明了时不变性质。 8.2-8.2-4848图 8.4-5 电路的时不变性质 8.2-8.2-4949例 8.4-1 如图（a)所示电路，其激励is的波形 如图(b)所示，试求电路的零状态响应uC(t)。 8.2-8.2-5050解 此题可用两种方法求解。(1) 应用单位阶跃响应和电路性质求解。激励is可 表示为 is(t)=2(t)-2(t-2)A 根据电路的线性时不变性质，其零状态响应为 uC(t)=2g(t)-2g(t-2)V (1)式中g(t)为单位阶跃响应，可利用三要素法求得。因为uC(0+)=0，而在is=(t)作用下，其稳态值和时间常数分别为 8.2-8.2-5151uC()=61=6V =RC=100.2=2s故有单
