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1、3.2 利息公式（一）相关概念1、利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用“I”表示。广义的利息信贷利息经营利润2、利率利息递增的比率，用“i”表示。 每单位时间增加的利息原金额（本金）100%利率(i%)=计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用“n” 表示。3.2 利息公式3.2.1利息的种类1、单利计息1. 单利每期均按原始本金计息（利不生利）设：I利息P本金n 计息期数 i利率F 本利和则有例题1：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其 偿还的情况如下表年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还110001000 0.06=6010600210601000
2、 0.06=6011200311201000 0.06=6011800411801000 0.06=60124012403.2 利息公式2、复利将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息， 这种计息方式称为复利（计息）利滚利 年份年初本金P当年利息I年末本利和FP(1+i)2P(1+i)n-1 P(1+i)n 1 PPiP(1+i)2P(1+i)P(1+i) in1P(1+i)n-2P(1+i)n-2 in P(1+i)n-1P(1+i)n-1 iF=P(1+i)n I=F-P=P(1+i)n-1例题2：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表年 初 欠 款年
3、 末应 付 利 息年 末 欠 款年 末 偿 还1234年10001000 0.06=601060010601060 0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60 0.06=67.421191.02 0.06=71.46（二）现金流量图（cash flow diagram)描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点 流入与流出的情况。流入与流出的情况。是资金时间价值计算中常用的工具是资金时间价值计算中常用的工具大 小流 向时间点现金流量图的三大要素（
4、二）现金流量图（cash flow diagram)1、水平线是时间标度，每一格代表一个时间单位（年、月、日），第n 格的终点 和第n +1格的起点是相重合的。2、箭头表示现金流动的方向，向下的箭头表示支出（现金的减少），向上的箭头 表示现金收入（现金的增加），箭头的长短与收入或支出的大小成比例。3、现金流量图与立脚点（着眼点）有关：如贷款人的立脚点，或者借款人的立 脚点。300400 时间2002002001 2 3 4现金流入 现金流出 0 （二）现金流量图（cash flow diagram)o 注意： 1. 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。 2. 立脚点不同，画法刚好相反。 3
5、. 净现金流量 = 现金流入 现金流出 4. 现金流量只计算现金收支(包括现钞、转帐支票 等凭证)，不计算项目内部的现金转移(如折旧等) 。3.2.3复利计算公式1、一次支付复利公式 F 将来值(Future Value/worth)；i 利率(interest rate)； n 计息期数(number)；P 现在值(Present Value/worth)；有时记为（F/P, i, n）, 则有F=P(F/p, i, n)案例1、一次支付复利公式第一年年初第一年年末第二年年末第n年年末P P +Pi=P(1+i)P (1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2P(1+i)n1、一次支付复利公式
6、在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则 到第四年年末可得本利和若干？ 分析2、一次支付现值公式案例2、一次支付现值公式为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率 6%计算，现在必须投资多少？分析3、等额支付系列复利公式案例3、等额支付系列复利公式A1累 计 本 利 和 （ 终 值 ）等额支付值年末23AAnAAA+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1=F3、等额支付系列复利公式即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1)以(1+i)乘(1)式,得 F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i
7、)n-1 +A(1+i)n (2)(2) (1) ，得F(1+i) F= A(1+i)n A3、等额支付系列复利公式连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算， 第5年年末累积借款若干？分析4、等额支付系列积累基金公式案例4、等额支付系列积累基金公式如果要在第5年年末得到资金1000元，按年利率6% 计算，从现在起连续5年每年必须存储若干？分析5、等额支付系列资金恢复公式案例根据F = P(1+i)n= P(F/P,i,n)F =A (1+i)n 1iP(1+i)n =A (1+i)n 1i5、等额支付系列资金恢复公式5、等额支付系列资金恢复公式如果现在以年利率5%投资1000元，在今后
8、的8年中 ，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可 以等额提取若干？分析6、等额支付系列现值公式案例6、等额支付系列现值公式按年利率6%计算，为了能够在今后5年中每年年末得 到100万元的利润，现在应投资若干？ 分析7.均匀梯度系列公式均匀增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G 0 1 2 3 4 5 n1 nA1 0 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n（3 ）（2）（n2）GG 0 1 2 3 4 5 n1 n2G3G4G（n1）GA2= G1n ii（A/F,i,n）图（2）的将来值F2为:F2=G（F/A,i,
9、n1）+G（F/A,i,n2）+ + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1）=G （ 1+i）n1 1i（ 1+i）n2 1 iGG（ 1+i）2 1 i i（ 1+i）1 1Gi+（ 1+i）1 1G（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1（n1）1 =G i（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1+1 =iGn G i= iG （ 1+i）n 1in G iiG （ 1+i）n 1n GiA2= F2（ 1+i）n1 = iii （ 1+i）n1 Gn GiGn G= ii（ 1+i）n1 = ii（A/F,i,n）=G（A/F
10、,i,n）1n ii梯度系数（ A/G,i,n）A1 0 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n（3 ）A=A1+A20 1 2 3 4 5 n1 n（4 ）注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1A28.运用利息公式应注意的问题1、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初（期初惯例）；2、方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末（期末惯例） ；3、本年的年末即是下一年的年初；4、P是在当年度开始时发生；5、F是在当年以后的第n年年末发生；6、A是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括P和A时，系列的 第一个A是在P发生一年后的年末发生；
11、当现金流量系列包括F和A时，系 列的最后一个A是和F同时发生。3.2.4名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。当利率的时间单位与计息期不一致时，有效利率资金在计息期发生的实际利率。例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%，则 3%（半年）有效利率如上例为 3%2=6% （年）名义利率（年）名义利率=每一计息期的有 效利率 一年中计息期数 1、离散式复利按期（年、季、月和日）计息的方法按期（年、季、月和日）计息的方法如果名义利率为如果名义利率为r r，一年中计息，一年中计息n n次，每次计息的利率为次，每次计息的利率为r/ nr/ n， 根据一次支付复利系数公式，根据一次支付复利系数
12、公式，年末本利和为：年末本利和为： F=P1+r/nF=P1+r/nn n一年末的利息为：一年末的利息为： P1+r/nP1+r/nn nP P按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i i为：为：例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%，每季度计息一 次，求10年末的将来值。F=？1000 0 1 2 3 40 季度每季度的有效利率为8%4=2%，用年实际利率求解:年有效利率i为： i=（ 1+ 2%）41=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000
13、2.2080=2208（元）解：例例: :某企业向银行借款某企业向银行借款10001000元元, ,年利率为年利率为4%,4%,如按季度计息如按季度计息, ,则第则第3 3年应偿还本年应偿还本 利和累计为利和累计为( )( )元。元。 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172F=1000(F/P,1%,43)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案: CF= ？1000 0 1 2 3 12 季度解:例: 已知某项目的计息期为月,月利率为8 ,则项目 的名义利率为( ) 。A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6解:（年）名义利率=每一计息期的 有效利率一年中计息期数 所以 r=128 =96 =9.6%答案: C2、连续式复利按瞬时计息的方式称为连续复利。在这种情况下，复利可以在一 年中按无限多次计算，年有效利率为：式中：e自然对数的底，其数值为2.7
