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1、自动控制原理杭州电子科技大学“自动控制原理”精品课程课题组2008.122006年度浙江省精品课程第七章 线性离散系统的分析7.1 引言7.2 信号的采样与保持7.3 z变换理论7.4 脉冲传递函数7.5 离散系统的稳定性和稳态误差7.6 离散系统的动态性能分析7-4 脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系 统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之 比。虚拟采样开关2. 单个环节脉冲传递函数的推导当输入信号为如下的脉冲序列时 根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和 ，即在t=kT 时刻，输出的脉冲值为根据卷积定理，可得上式的z变换注意：注意
2、：经虚设采样开关得到的脉冲序列经虚设采样开关得到的脉冲序列 反映反映 的是连续输出的是连续输出 在采样时刻的瞬时值。在采样时刻的瞬时值。脉冲传递函数给出的是两个离散信号之间的脉冲传递函数给出的是两个离散信号之间的 传递关系。传递关系。可见： (1) 脉冲传递函数是系统单位脉冲响应g(t)经采样 后离散信号g *(t)的z变换。 (2) 系统响应速度越快，g(t)衰减越快，G(z)展开式中包含项越少。(3) 如果已知R(z)和G(z)，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为：例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分 的传递函数为求该系统的脉冲传递函数 。解一：连续部分的脉冲响应函
3、数为解 二 ：查表得脉冲传递函数为3串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数例7-11：系统结构如上图所示，求开环脉冲传 递函数，其中 解：(2)串联环节间有采样开关且同步时的脉冲传 递函数此时，脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积。取z变换例7-12：系统结构如上图所示，求开环脉冲传 递函数，其中解：所以由于（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采 样开关）例7-13：系统结构如上图所示，采样周期为1秒，求其开环脉冲传递函数。其中解：4.闭环脉冲传递函数于是闭环系统的脉冲传递函数和误差脉冲传递函 数为取z变换例7-14：闭环采样系统的结构如上图所示， 采样周期为
4、1秒，求闭环脉冲传递函数。其中若 ，求 。解：则输出信号的z 变换为所以对于阶跃输入函数有对于阶跃输入函数有几点说明：不是所有的闭环系统都能写出闭环脉冲传递函 数。由于系统中采样开关数目和位置的不同， 有的系统只能给出输出的z变换；如果在E(s)处存在采样开关，一般可以写出闭环脉冲传递函数。对于一个等式中含有的离散信号取z变换时，可以单独取。数字控制系统7.5 离散系统的稳定性和稳态误 差 一、稳定性 1 从s平面到z平面的映射关系由z变换的定义若令则有可见：虚轴映射为单位圆（实部为零）左半平面映射为单位圆内（实部小于零）右半平面映射为单位圆外（实部大于零）s平面上虚轴在z平面上的映象系统的特
5、征根为 即为闭环传递函数极点2 Z域的稳定条件和稳定性 判据 对于下图所示的采样控制系统，其特征方程式为结论：闭环采样系统稳定的充分必要条件是，系统 特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内，或 者所有根的模均小于1，即用直接求解特征根的方法判断系统稳定性往往 比较困难。在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判 断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依 此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定 性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而 不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据 。双线性变换可建立z平面单位圆与变换后坐标系虚轴之间的对应关系。 3 双线性变换（W
6、变换） 则令复变量 可见：对于w平面上的虚轴，实部u=0，即 单位圆内x2+y21，对应于w平面上u为负数的虚 轴左半部； 单位圆外x2+y21，对应于w平面上u为正数的虚 轴右半部。 z平面上单位圆的方程说明：对于本例的二阶系统，如果没有采样作 用，则不论K取何值，系统都是稳定的；但引入采样以后，系统可能不稳定。采样周期越长，系统稳定性越差。二、数字控制系统稳态误差设单位反馈采样控制系统如下图所示 与连续系统类似，系统的误差：在离散系统中，也可把开环传递函数G(z)具有z = 1的 极点数，作为划分系统型别的标准。把G(z)中 =0， 1，2的系统称为0型、型和型（离散）系统等 。在连续系统
7、中，如果开环传递函数G(s)具有 个s = 0 的极点，则由z = eTs可知相应G(z)必有 个z = 1的极 点。设闭环系统稳定，根据终值定理可以求出在输入 信号作用下采样系统的稳态误差终值例7-15：已知系统的结构如图所示，其中采样周期为0.2s，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差。解 ：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为双线性变换：系统稳定。在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零，静态加速 度误差系数为因此，在输入 作用下的稳态误差为7.6 离散系统的动态性能分 析例7-16 设采样系统如下图所示，采样周期T=0.1s ，大致绘出系统阶跃响应曲线 解：闭环脉冲传递函数为 系统的阶跃响应为用长除法得 输出信号的脉冲序列将c*(t)在各采样时刻的值用“*”标于图上，光滑地 连接图中各点，便得到了系统输出相应曲线c(t)的大 致波形。由该波形曲线可得，Z平面ImRe01闭环实极点分布与相应的动态响应形式ImRe11闭环复极点分布与相应的动态响应 形式胡寿松教材P382：7-12 ，7-14 （1）（3） ，7-15，7-20HomeworkChapter7 part2
