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1、第五章 插值型数值微分与数值积分5.1 插值型数值微分公式5.2 插值型数值积分 5.1 插值型数值微分公式 故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数 值进行近似计算，以便估计误差。 这类公式称为插值型数值微分公式。 当 x 为插值节点xi 时，上式简化为 一般地 5.1.1 常用的数值微分公式 即 1.两点公式(n=1) 这称为两点公式。 两点公式的截断误差为 这里 2.三点公式(n=2) 这称为三点公式，其中（54b）又称为中点公式。 三点公式的截断误差为 这里 进一步由 可得计算公式 为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f (x) 四阶连续可微，故得 从而得到误差估计式 二
2、阶导数的截断误差例1：已知列表x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70 y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317解: h=0.05例 5.1 为计算 在 x=2 处的一阶导数值，我们可选用中点公式当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。 而精确值为 ，可见当 h=0.1时近似结果最 好，步长太大或太小计算效果均不好。 5.2 插值型数值积分 x0x1-xi-1xixi+1-xnf(x0)f(x1)-f(xi-1)f(xi)f(xi+1)-f(xn)2.由下列列表函数求L-插值多项式称为插值型求积公式， 称为求积节点， 称为
3、求积系数，其和 5.2.1 Newton-Cotes公式 则 ，考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形牛顿-柯特斯公式Cotes系数 n=1,2,4n=1,2,4的的N-CN-C公式公式这称为梯形公式； 几何意义：用梯形面积 代替f(x)作为曲边的曲边 梯形面积。 图1 梯形公式 ab这称为Simpsion公式图2 Simpson公式 ab几何意义：用抛物线 作曲边的曲边 梯形面积代替f(x)作 为曲边的曲边梯形面积。 对应于 情形的Cotes系数见表5-2 (书106页)。 这称为Cotes公式。 求积公式的稳定性分析求积公式的稳定性分析5.2.2 复合求积公式 当取 m=1 时，称为复合梯形
4、公式，简记为Tn1.复合梯形公式=1为当取 m=2 时，称为复合Simpson公式，简记为Sn2.复合Simpson公式当取 m=4 时，称为复合Cotes公式，简记为Cn(公式见书107页）3.复合Cotes公式例 5.2 试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合 Simpson公式和复合Cotes公式计算定积分 解：1. 写出公式2.确定h3.列表k xk f(xk) T8 S4 C20 0 0.000 000 1 1 71 1/8 0.110 312 2 4 322 1/4 0.194 700 2 2 123 3/8 0.257 733 2 4 324 1/2 0.303 265
5、 2 2 145 5/8 0.334 538 2 4 326 3/4 0.354 275 2 2 127 7/8 0.364 754 2 4 32 8 1 0.367 879 1 1 7 4.20704 6.341712 47.56338 5.2.3 插值型求积公式的误差分析与步长减半算法 1、求积公式的误差记 为采用插值型求积公式进行积分近似的 截断误差，则由多项式插值公式的误差估计式（5-1）得 因此，当 f(x) 为次数不超过 n 次的多项式时，插值型求积公式精确成立。 特别地， 从而可得 为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算法，下面介绍其思想。 由(5-17a)得所以 2
6、、变步长法则类似地，可对 Simpson 公式和 Cotes 公式分别利用（5-18b）和（5-18c）进行事后误差估计，建立步长逐次减半的算法。 因此，可先用 计算出T1，并把步长减半算出T2 ，若 则T2 即为所求的近似值，否则再把步长减半，算出T4， 根据式 (5-18a) 进行事后误差估计 ， 如此递推计算，直到某个n 满足 为止 ，取 为所求的近似值，这就是梯形公式的步长逐次减半算法。为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。 这里 对应于新的步长， 对应于新分点。 因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式： 解:计算结果见下表例 5.3 试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分 使误差小于 。 解 一般的计算结果见表5-4 (书112页)。 5.2.4 龙贝格积分法 这说明收敛较快的 Simpson 步长减半序列 可由梯形公式的步长减半序列 构造生成。类似地， (5-20c)称为龙贝格（Romberg）积分公式。按以上方法 可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法龙贝格积 分法（书114页）。其计算公式为注：这样的计算格式 可根据精度自动停机。只 要竖线上相邻两结果之差 不超过给定精度为止。计 算过程实质是将区间逐次 分半计算 ，然后利用 加速公式，故又叫逐次分 半加速法。解:
