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1、高 等 代 数 6.7 子空间的直和 第七节 子空间的直和第六章 线性空间Linear Space6.7 子空间的直和 一、子空间的直和的概念在线性空间V1 + V2中，向量 = 1 1+ 2 2（ 1 1 V V1 1 , , 2 2 V V2 2）的表示法一般不唯一 例如，在 R 3 中，子空间 V1 =L(e e1 1, e, e2 2) , V2 = L(e e1 1, e, e3 3)， 其中 e e1 1 =(1,0,0), e e2 2 =(0,1,0), e e3 3 =(0,0,1) , 则和空间V1 + V2中，零向量的表示法不唯一:0 = 0 + 0 = e e1 1 -
2、 e e1 1 6.7 子空间的直和 注 子空间的直和是子空间的和的一种特殊情形.定义 1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，如果 V1 + V2 中每个向量 的分解式 = 1 1+ 2 2 ， 1 1 V V1 1 , , 2 2 V V2 2 , ,是唯一的，这个和就称为直和，记为 V1 V2 . 6.7 子空间的直和 定理 1 设 V1 与V2 是线性空间V 的两个子空间则下列命题等价:(1) V1 +V2 是直和 ;(2) 零向量的分解式是唯一的, 即由0 = 1 1+ 2 2 （ 1 1 V V1 1 , , 2 2 V V2 2）可以推出 1 1= 2 2 =0 ;(3
3、) V1 V2 =0 ;(4) dim (V1 +V2) = dimV1 + dim V2 .二、子空间的直和的充分必要条件6.7 子空间的直和 = 1 + 2 = 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 .于是证明 (1) (2) 根据直和的定义直接得证.(2) (3) 任取 V1 V2 ， 有0 = - , V1 , V2 ，由(2) 知 = 0, 从而 V1 V2 =0. (3) (4) 根据维数公式直接得证.(4) (1) 任取 V,设6.7 子空间的直和 ( 1 - 1 ) = - ( 2 - 2 ) ,其中1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 .从而故 1 - 1
4、 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 . 所以向量 的分解式是唯一的, 即V1 +V2是直和.证毕1 - 1 V1 V2 , 2 - 2 V1 V2 .V1 V2 =0. 由 (4) 及维数公式知6.7 子空间的直和 定理 2 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W . 即子空间的补空间一定存在.三、子空间的补空间定义 2 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，若V 的子空间 W 使 V = U W . 则U 叫做 W 的补空间，W 也叫做 U 的补空间，或者称U 与 W 是互补子空间.6.7 子空间的直和 证明取
5、U 的一个基 1 , , m . 把它扩充为 V 的一个基 1 , , m , m + 1 , , n .令W = L(m + 1 , , n ) .W 满足要求.证毕则 U W = 0 且U + W = V,6.7 子空间的直和 例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直线的直和就是由这两条直线所确定的平面.xoyzL1L2L L1 1 L L2 26.7 子空间的直和 例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线， 是过原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U， 上的点构成的空间为W，如果 UW = 0 ，即 L 不在 上，则 V = U W .xoyzL6.7 子空间的
6、直和 例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，求 U 的补空间 W .解要求补空间 W，即要求 W 的一个基. 只需把 U 的基扩充为 P 3 的基.取e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),因为向量组 1, e1, e2 线性无关，所以它即为 P 3 的基，于是 e1, e2 是 W 的一个基，即 W = L(e1, e2 ) .6.7 子空间的直和 若令e3 = ( 0, 0, 1), 则 e1, e3 和 e2, e3 都可作为 W的基，这就是说，子空间的补空间不是唯一的.在这里 U 是过原点的直线，W 是过原点的平面. 事实
7、上，只要直线不在平面上，这时的 W 都是 U 的补空间.xoyzUW2W1e1e2e36.7 子空间的直和 定义 3 设 V1 , V2 , , Vs 都是线性空间 V 的子空间. 如果和 V1 + V2 + + Vs 中每个向量 的分解式 = 1 + 2 + + s , i Vi ( i = 1,2,s )是唯一的，这个和就称为直和. 记为四、多个子空间的直和V V1 1 V V2 2 V Vs s . .6.7 子空间的直和 定理 3 设 V1 , V2 , , Vs 都是线性空间 V 的子空间，则下面这些条件是等价的：1)是直和；2) 零向量的表示法唯一；3)4) dim W = dim Vi .证明 略. 6.7 子空间的直和
