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1、布莱克布莱克斯科尔斯斯科尔斯默顿模型默顿模型Chapter 131Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 2008Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 20082股票价格股票价格 考虑无股息股票价格 S在一个小的时间段Dt, 股票价格百分比 变化服从正态分布：m是股票每年的收益率期望 ； S股票价格每年的波动率。Options, Futures, and Other
2、Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 20083对数正态分布的性质对数正态分布的性质在第12.6节我们曾得到下列性质：若 服从正态分布 , 则说ST 具有对数正 态分布Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 2008对数正态分布对数正态分布收益率的分布收益率的分布 如果 x 是连续复利的收益率Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright Jo
3、hn C. Hull 20085Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 20086预期收益率预期收益率股票的预期收益为 S0emT股票的预期收益率是m s2/2 而不是 m这是因为 m =E(DS/S)代表在每天变化的期望值ms2/2是在整个时间段的预期收益Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 20087互惠基金的收益率互惠基金的收益率假定5年内的年收益率分别为 15
4、%, 20%, 30%, -20% 和25%，那么这些收益的平均值 为14%假定投资$100,5年后的价值为而以年复利14%的收益率计算相应的值为Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 20088波动率波动率波动率可以被定义为按连续复利时股 票在1年内所提供收益率的标准差在Dt时间内收益率的标准差是股票价格 $50 波动率为每年 25% 一 天价格变化的标准差是多少？答：Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Co
5、pyright John C. Hull 20089由历史数据来估计波动率由历史数据来估计波动率1.取在t年内的观察值 S0, S1, . . . , Sn2.计算每段时间的连续复利收益率:3.计算ui的标准差s由历史信息估计的波动率Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200810波动率的本质波动率的本质在交易所开盘交易时的波动率要比关闭时的 波动率高很多，因此由历史数据计算波动率 时以及计算期权期限时，往往去掉交易所休 市的日期。我们计算年波动率的公式为：交易日天数为252天
6、期权期限通常也是由交易日天数度量Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200811布莱克布莱克斯科尔斯斯科尔斯默顿微分方默顿微分方 程的概念程的概念这个方程是每一个与标的资产有关的衍 生产品价格必须满足的方程式我们可以构建一个由期权与标的股票所 组成的无风险交易组合，这是因为股票 价格与期权价格均受同一种不定性的影 响即股票价格的变动交易组合在短时间内的收益为无风险利 率。Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition,
7、Copyright John C. Hull 200812布莱克布莱克斯科尔斯斯科尔斯默顿微分程默顿微分程Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200813布莱克布莱克斯科尔斯斯科尔斯默顿微分程默顿微分程Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200814布莱克布莱克斯科尔斯斯科尔斯默顿微分程默顿微分程Options, Futures, and Other Deriv
8、atives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200815微分方程微分方程任何依靠股票价格的证券都满足该微分方程而证券的价值是由其满足的边界条件决定的若远期合约的边界条件是 = S K 当t =T 方程的解为 = S K er (T t )Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200816Black-Scholes Black-Scholes方程方程Options, Futures, and Other Derivatives, 7th
9、Edition, Copyright John C. Hull 200817N N( (x x) )函数函数Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200818Black-ScholesBlack-Scholes公式的性质公式的性质当 S0 很大时，看涨期权肯定会得到执行 c应 该为S0 Ke-rT ，p 趋于0，这与期权定价公式 吻合当 S0 很小时 c 趋于0 并且 p 趋于 Ke-rT S0 也与定价公式一致Options, Futures, and Other Deriva
10、tives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200819风险中性世界定价风险中性世界定价方程中出现的变量包括股票的价格、时间 、波动率和无风险波动率，而这些均与风 险无关。方程中没有出现与风险有关的变 量m ，这样由于方程与风险选择无关，我 们可以假设所有投资均在风险中性世界。这就引出了风险中性世界的定价原理Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200820利用风险中性定价利用风险中性定价1. 假定标的资产的收益率为无风险利率 2. 计算
11、衍生产品收益的期望 3. 用无风险利率对收益率贴现Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200821应用于股票远期合约应用于股票远期合约远期合约的价值 ST K风险中性世界里预期收益S0erT K预期收益的贴现e-rTS0erT K=S0 Ke-rTOptions, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200822隐含波动率隐含波动率在 Black-Scholes定价公式中，不能直
12、接观 察到的参数只有波动率。我们可以利用迭代法来求解波动率的值。交易员通常报出的是期权的隐含波动率而不 是期权价格，因为波动率变化比期权价格的 变化更加稳定。VIX S&P500 VIX S&P500 波动率指数波动率指数Chapter 24 explains how the index is calculatedOptions, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200823Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyr
13、ight John C. Hull 200824权证权证 & &雇员股票期权雇员股票期权对一个普通的看涨期权，对公司上市股票的数量没有 影响，如果期权承约者不拥有公司的股票，当期权被 行使时必须在市场上按通常的方式买入股票，然后按 ，执行价格卖给期权的持有者。当权证或雇员股票期权被行使时新的股票将被发行， 那么这些期权的行使会对市场上的股票产生稀释效应Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200825稀释效应的影响稀释效应的影响 潜在的稀释效应不会影响既存的权证与雇员 股票期权的
14、定价。当他们发行时我们得到期权持有者的收益N是公司总共发行的股票数量，M是公司考虑发行的新股票的数量。Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200826美式期权美式期权无股息股票的美式期权永远不应被提 前执行支付股息股票的看涨期权应该被提前 行使得时间为最后一个除息日。假设支付股息的时间为 t1, t2, tn. 如果 在时间ti支付的股息量大于 则行使期权最优Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright John C. Hull 200827布莱克近似法布莱克近似法美式期权可以近似等于在T和tn时刻的欧式 期权价格最大值。
