第一章 第一节 线性空间主要内容：一 线性空间的定义及其性质二 向量组的线性相关性概述• 线性空间是n维向量空间R n 的推广,是矩阵理论 的基础•线性空间是一类具有“线性结构”的元素集合 ，这种线性结构是通过两种线性运算“加法” 、“数乘”在一定公理体系下给出的•数学空间是指一个赋予了“某种结构”的集合定义 设V是一个非空集合，F是一个数域（如 实数域R或复数域C），如果在V上规定了下列 两种运算，则称V是数域F上的一个线性空间 [1]加法运算 对V的任意两个元素x、y，都有V的 唯一的“和 ” ，且满足•（1）交换律 x+y=y+x;•（2）结合律 x+(y+z)=(x+y)+z;•（3）存在0元 x+0=x;•（4）存在负元-x x+(-x)=0 . [2]数乘运算 对V的任一元x，及F的任一数k，都存在唯一的“积 ” ，且满足•（5）分配律 k(x+y)=k x+k y •（6）分配律 (k+l)x=k x+lx •（7）结合律 k(lx)=(k l)x •（8）1x=x线性空间的元素也称为向量，它比n维向量有更广泛 的含义注意：上述定义所规定的加法运算与数乘运算也称为 V的线性运算，满足“封闭性”，即对V的任意两个元素 及F的任一数k，所定义的“和” 与“积” 仍属于V。
当F是实数域时，V称为实线性空间； 当F是复数域时，V称为复线性空间n维实向量空间是线性空间，仍记作 ；n维复向量空间是线性空间，仍记作 可以验证：线性空间实例• 例1 所有 型矩阵在矩阵加法和数乘运算下 构成一个线性空间，记为•例4 闭区间[a,b]上所有连续函数的集合在函数加 法和数乘运算下构成一个线性空间,记为•例3 二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加 法与数与函数的乘法构成一个线性空间•例2 所有次数不超过n 的多项式在多项式加法 和数乘运算下构成一个线性空间,记为•相容的线性非齐次方程组 解的全体按 中的 运算不构成线性空间非线性空间举例所有n阶可逆矩阵在矩阵加法和数乘运算下不 构成线性空间（0矩阵不可逆）•所有次数等于n 的多项式在多项式加法和 数乘运算下不构成线性空间实 例 5设R+为所有正实数组成的集合，其上的加法与乘 法分别定义为试证R+是R上的线性空间证明 设 （3）1是零元，因为（4）a的负元是1/a，因为即对所定义的加法“”与乘法“”是封闭的且满足故R+是R上的线性空间。
定理 设V是数域F上的一个线性空间，则 （1）V的零元是唯一的； （2）V中任意元的负元是唯一的； （3） （4）如果 ，则k=0或 线 性 表 示则称x可由x1 ,x2 , …,x p线性表示，称x是x1 ,x2 , …,x p的线性组合例１ 在二维空间R2中，任意一个二维向量 都可由标准单位向量e1 , e2 线性表示设V是一个线性空间，是V的向量组 如果存在一组数使得例2、性空间中， 例 3在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得求解注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求 解问题如果向量组 与 可以相互表示， 则称向量组 与向量组 是等价的 给定线性空间V 的两个向量组 与 ， 如果 中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向量组 可以由向量组 线性表示；等价向量组具有：自反性、对称性、传递性 设 x1 ,x2 , …,x p 是线性空间V 的向量组。
如果存在一组不全为 0 的数 k1 ,k2 , …,kp使得则称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的； 否则，就称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性无关的 线性相关命题一 向量组x1 ,x2 , …, xp是线性无关的充要条件 是仅当k1 = k2 = … = kp= 0 时成立命题二 向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的充要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表 示等价命题1、性空间 中， 其中 表示第i行元素第j列元素1，其它元素为0的 矩阵线性无关可以证明：2、性空间中， 线性无关例 4在四维空间R4中，讨论下列向量组的线性相关性解 仅讨论（1）设存在一组数 ，使得即改写成线性方程组为求解线性方程组得唯一解线性无关并称 r 为向量组的秩，记为则称 是向量组 的极大无关组；(2)任一向量 可由 线性表示；（1） 是线性无关组，说明：一般地，向量组的极大无关组不是唯一的，但向 量组的每一个极大无关组都与向量组自身是等价的，并 且向量组的每一个极大无关组中所含有的向量的个数都 等于向量组的秩。
定义 设 是线性空间V的向量组,如果第二节 线性空间的基与坐标主要内容：一、线性空间的基与向量在基下的坐标二、坐标变换与过渡矩阵设x1 ,x2 , …,x n是线性空间V的向量组,如果（1） x1 ,x2 , …,x n是V的线性无关组，（2）V的任一向量x可由x1 ,x2 , …,x n线性表示；则称x1 ,x2 , …,x n是线性空间V 的一组基称n是线性空间V 的维数，记作dimV或称线性空间V 是n维线性空间即：线性空间的维数是其基中所含向量的个数一、线性空间的基与向量在基下的坐标若在V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是 无限维线性空间例1、 证明：在三维向量空间R3中 x1 ,x2 , x3 与y1 ,y2 , y3都是线性空间R3的一组基说明：线性空间的基不唯一这是因为：从而它们各自都线性无关， 而对于任意向量分别有：例2、P[x]n表示所有次数不超过n 的多项式所构 成的一个线性空间,则:可以验证：1 , x , x2 , … , xn是线性空间 P[x]n的一组基, P[x]n的维数是n+1P[x]n是n+1维线性空间P[x]表示实系数多项式所构成的一个线性空间， 则: P[x]是无限维线性空间因为对于任何整数N，多有N个线性无关的向量1 , x , x2 , … , xN。
则{Eij:i=1,2, …,m;j=1,2, …,n}是线性空间则 是m×n 维线性空间令E ij为第(i,j)元为1，其余元为0的 m×n矩阵,的维数是 m×n 例3、 表示所有m×n 矩阵构成一个线性空间，的一组基,引 理 1设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基，则对于V的 任一元x， x可由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示证明 设x可由x1 ,x2 , …,xn有两种线性表示：x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基，它们线性无关，坐 标设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基， 则称x由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示的系数为向 量x在基x1 ,x2 , …,xn下的坐标，记为X.即设则引入坐标的意义就在于将抽象的向量与具体的 数组向量联系起来了说明：在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐 标一般是不同的例如：例4、在R3中， x1 ,x2 , x3是与y1 ,y2 , y3都是 线性空间R3 的一组基向量在这两组基下的坐标分别为引理2 n维线性空间V 的任意n个线性无 关的向量x1 ,x2 , …,xn都可构成线性空间 V 的一组基。
证明 设x1 ,x2 , …,xn 是n维线性空间V 的任意一组 线性无关的向量，x是V的任一向量，只要证明：设存在一组不全为0的数k , l1 , l2 , …, ln使由于x1 ,x2 , …,xn 是线性无关的，故所以X可由x1 ,x2 , …,xn是线性表示X可由x1 ,x2 , …,xn是线性表示即可进而因此x1 ,x2 , …,xn可构成V 的一组基推论1 在n维线性空间中，任意m(m>n)个 向量必是线性相关的推论2 在n维线性空间中，任意两组基中所含的向量的数目相同下面，讨论当线性空间的基改变时，向量的坐标 如何变化，为此，首先介绍过渡矩阵的概念二、基变换与 过渡矩阵x1 ,x2 , …,xn与y1 ,y2 , …, yn是n维线性空间V 的两组不同基则由基的定义，有称P是由基x1 ,x2 , …,xn到基y1 ,y2 , …, yn的过渡 矩阵记作：其中过渡 矩阵 结论(1) 过渡矩阵P是可逆矩阵；同一向量在不同基下的坐标是不同的设得坐标变换公式(2) 设P是由基x1 ,x2 , …,xn到基y1 ,y2 , …, yn的过 渡矩阵，则P-1是由基y1 ,y2 , …, yn到基x1 ,x2 , …,xn 的过渡矩阵。
由于基向量线性无关，则例5、求向量 在基x1 ,x2 , x3下的坐标解法1： 由向量坐标的定义，可设：得方程组解方程组即可由自然基到基x1 ,x2 , x3的过渡矩阵为解法2：求得利用坐标变换公式，则基x1 ,x2 , x3的坐标为第三节 线性子空间主要内容：一、子空间与生成子空间二、子空间的运算三、子空间的直和1、定义：设V是一个线性空间，S是V的一个子集，如果S关于V的加法及数乘也构成一个线性空间，则称S是V的一个子空间记为定理 : 线性空间V的一个子集S是V的一个子空间当且仅当S关于V的加法及数乘是封闭的，即说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是 它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为 零子空间一、子空间与生成子空间设x1 ,x2 , …,xk 是线性空间V的任意一组向量，则称所有x1 ,x2 , …,xk线性表示的集合构成的子空间（可以验证其为V的子空间）为生成子空间，记例 在三维向量空间R3中，e1 ,e2 , e3是自然基 则 e1 ,e2的生成子空间是x1-x2 平面；e2 ,e3的生成子空间是x2–x3 平面；e1 ,e3的生成子空间是x1–x3 平面；2、生成子空间例1、n元齐次方程组 的解的集合构成线性空间，称为解空间，记为若设 则即称 为A的核空间，A的核空间的维数称为A的零度。
例2、矩阵Am×n的列空间：矩阵A的列空间又称为A的值域，记为设矩阵 则 有生成子空 间的维数x1 ,x2 , …,xk 的任一极大无关组构成生成子空间 L(x1 ,x2 , …,xk ) 的基基的扩充定理 n维线性空间V 的任意一组线性无关 的向量x1 ,x2 , …,xr 都可扩充为线性空间V 的一组基可用归纳法证明）记dim L (x1 ,x2 , …,xk )= r r为向量组x1 ,x2 , …,xk的秩.从而有：二、子空 间的运算设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，定义子空间的交空间与和空间（仍为V的子空间）：例如，性空间R3中， v1 表示过原点的直线L1 上所有 向量形成的子空间，v2 表示另一条过原点的直线L2 上所 有向量形成的子空间，则是由原点（ L1 与L2的交点）构成的零子空间； 是由 L1 与L2所决定的平面上全体向量构成的 子空间 子空间的 维数公式要证明设S1 ,S2 是线性空间V的两个子空间，则证明记将它分别扩充为S1 ,S2的基x1 ,x2 , …,xt , y1 ,y2 ,…, yr-t 与x1 ,x2 , …,xt , z1 ,z2 , …,zs-t 事实上，取 的一组基x1 ,x2 , …,xt,只需证明S1+S2的基恰好是x1 ,x2 , …,xt , y1。