第一章 抛物方程的差分方法在研究热传导过程、气体膨胀过程和电磁场的传播等 问题时，常遇到抛物类型的偏微分方程在这类问题 的自变量中，有一个时间变量，通常描述的是随时间 变化的物理过程，所谓的不定常的物理过程1.常系数的扩散方程三种古典差分格式(1):最简显格式在结点(i,k)处考虑微分方程,有由taylor展开公式有方法1:Taylor方法同理对于在空间上运用taylor公式有于是有用矩阵表示，记则可以表示为其中矩阵A和C分别为:方法2:差商法构造特点是用一阶向前差商代替时间方向的微商，用二阶 中心代替在空间上的二阶微商，所得到的差分方程于是在空间和时间都是等步长时,得到差分格式.(2):最简隐格式在结点(i,k)处考虑微分方程,有由taylor展开公式有方法1:Taylor方法空间上类似最简显格式,于是有格式它的矩阵形式为:方法2:差商法构造特点是用一阶向后差商代替时间方向的微商，用二阶 中心代替在空间上的二阶微商，所得到的差分方程3).Richardson格式还是在结点处考虑抛物类型问题，空间方向不变，主要是 时间方向．于是有忽略小量项，有它的矩阵形式是Richardson是一个三层格式,只有同时利用到k-1和k层的 全部数值解才可能求k+1层上的数值解.节点图算例：还是考虑算例1的方程。
它的数值结果和误差曲面如下图 1.2 稳定性、相容性、收敛性假设差分格式已经建立，自然会产生问题：差分方程 是否是对原微分方程的近似（相容性），方程差分格式 的解是否能作为原微分方程的解的近似（收敛性），以 及计算过程中误差对解有什么影响（稳定性）．注：差分格式的收敛性问题是一很重要的问题，不收敛的差分格式是无实用价值的，一般在计算之前，最好能解出明确的答复 稳定性定义:称差分格式是初值稳定的,如果存在常数M>0,使得 与之相应的齐次方程的解满足不等式定义: 称差分格式是右端稳定的,如果存在M>0,使得与 适合０初值条件的解满足不等式定理 如果差分方程关于初值稳定.则其也是右端稳定的.注:从上面定理有,差分方程的稳定性的讨论可以归结为 初值稳定.而且是齐次方程的初值稳定.1.3：Lax等价定理定理（Lax等价定理）给定一个适定的线性初值问题， 如果逼近它的差分格式是和它相容的，那么差分格式的收 敛性是差分格式稳定性的充分必要条件使用这个定理时必须注意的条件有：（i）问题是初值问题，并包括周期性边界条件的初边值问题（ii）初值问题必须是适定的iii）初值问题是线性的，非线性问题可能无这样简洁的关系Lax定理有十分重要的实用意义。
一般差分格式收敛 性的证明很困难，而判断一个差分格式的稳定性，则有很 多方法和准则以后我们就着重讨论差分格式的稳定性1.4判别稳定的Fourier方法1.4.1:Fourier分析方法于是应用Fourier分析方法有由此可得:1.4.2.判别准则上面的条件称为Von Neumann条件， Von Neumann条 件是稳定的必要条件其重要性在于，在很多的情况下 这个条件也是稳定性的充分条件其中,D和G同阶的对角阵,则Von-Neumann 条件是 差分格式组的稳定的充分条件.定理: 如果存在相似S,有定理: 设传播矩阵G,G是n阶方矩阵. (1)若G有n个不同的特征值,则Von-Neumann条件 是差分格式组稳定的充分条件. (2)若G的特征值有重根,但它的谱半径小于1,则差 分格式组稳定.1.4.3:下面讨论三种古典格式的稳定性:(1):最简显格式因此有显格式是在网格比满足一定的条件下,格式才是 稳定的,条件即是上面的不等式.(2):最简隐格式(3):Richardson格式破坏了Von Neumann条件，格式不稳定此格式是绝对不稳定的1:Crank-Nicolson2：其他差分格式下面分析截断误差2:加权隐格式将前面的显式格式写成： 再利用古典隐式格式：截断误差为:下面分析加权隐格式和Crank-Nicolson格式的稳定性节点图从另外一个角度得出Crank-Nicolson差分格式。
因为是齐次方程，得到对上式利用*，得到 对上面两式得右端只取前两项，得到 分别用二阶中心差商代替上式中的二阶微商，就可以到 Crank-Nicolson格式。