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1、第十一章 马氏链模型11.1 健康与疾病11.2 钢琴销售的存贮策略11.3 基因遗传11.4 等级结构马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性）描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型马氏链 (Markov Chain)时间、状态均为离散的随机转移过程通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，11.1 健康与疾病 人的健
2、康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, 无关状态与状态转移状态转移具 有无后效性 120.80.20.30.7n 0a2(n) 0a1(n) 1设投保 时健康给定a(0), 预测 a(n), n=1,2设投保 时疾病a2(n) 1a1(n) 0 n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 状态与状态转移120
3、.80.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1 健康, Xn=2 疾病p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第3种状态，记Xn=3健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2 不论初始状态如何
4、，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。状态与状态转移00150 0.1293 0.0326 0.8381 马氏链的基本方程基本方程马氏链的两个重要类型1. 正则链 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态（如例1）。w 稳态概率马氏链的两个重要类型2. 吸收链 存在吸收状态（一旦到达就不会离 开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有 限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式R有非 零元
5、素yi 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。11.2 钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时， 才订购3架供下周销售；否则，不订购。 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大， 以及每周的平均销售量是多少。 背景与问题问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其 参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率 存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存 量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。用马氏链描述不同
6、需求导致的周初库存状态的变化。动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超 过库存）的概率不同。 可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会 的概率和每周的平均销售量。 模型假设 钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架 存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初 到货；否则，不订购。 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有 无后效性。 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概 率，和每周的平均销售量。 模型建立 Dn第n周需求量，均值为1的波松分布 Sn第n周初库存量(状态变量 )状态转 移规律 Dn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.
7、019状态转移阵 模型建立 状态概率 马氏链的基本方程正则链 稳态概率分布 w 满足 wP=w已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率n, 状态概率 第n周失去销售机会的概率 n充分大时 模型求解 从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019模型求解 第n周平 均售量从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架) n充分大时 需求不超过存量,销售需求需求超过存量,销售存量 思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架) ?2. 估计这种策略下每周的平均销售
8、量敏感性分析 当平均需求在每周1 (架) 附近波 动时，最终结果有多大变化。 设Dn服从均值为 的波松分布 状态转移阵 0.80.91.01.11.2 P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去销售机会的概率 当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售 机会的概率将增长（或减少）约12% 。11.3 基因遗传背景 生物的外部表征由内部相应的基因决定。 基因分优势基因d 和劣势基因r 两种。 每种外部表征由两个基因决定，每个基因可以是 d, r 中的任一个。形成3种基因类型：dd 优种D, dr 混种H, rr 劣种R。 基因类型为优种和混种, 外部表征呈优势；基
9、因 类型为劣种, 外部表征呈劣势。生物繁殖时后代随机地（等概率地）继承父、母的 各一个基因，形成它的两个基因。父母的基因类型 决定后代基因类型的概率完全 优势 基因 遗传父母基因类型决定后代各种基因类型的概率父母基因类型组合后代各种基因类型的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23种基因类型：dd优种D, dr混种H, rr劣种R完全优势基因遗传P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr )P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr )=11/2=1/2=1/21/2=1/4
10、随机繁殖 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R） 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配，其后代随机地继承它们的各一个基因 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （ a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和劣 势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。假设建模状态Xn=1,2,3 第n代的一个体属于D, H, R状态概率 ai(n) 第n代的一个体属于状态 i(=1,2,3)的概率。讨论基因类型的演变情况基因比例 d:r=p:q转移概率矩阵状态转移概率随机繁殖马氏链模型自然界中通常p=q=1/2稳态分布D:H:R
11、=1/4:1/2:1/4基因类型为D和H, 优势表征绿色，基因类型为R, 劣势表征黄色。解释“豆科植物的茎，绿色:黄色=3:1”(D+H):R=3:1随机繁殖近亲 繁殖在一对父母的大量后代中, 雄雌随机配对繁殖，讨论一系列后代的基因类型的演变过程。状态定义为配对的基因类型组合Xn=1,2,3,4,5,6配对基因组合为DD,RR,DH,DR,HH,HR状态转移概率马氏链模型I0RQ状态1(DD), 2(RR)是吸收态 ，马氏链是吸收链不论初始如何，经若干代近亲繁 殖，将全变为优种或劣种.计算从任一非吸收态 出发，平均经过几代 被吸收态吸收。纯种(优种和劣种)的某些品质不如混种， 近亲繁殖下大约5
12、6 代就需重新选种.近亲繁殖11.4 等级结构社会系统中的等级结构，适当、稳定结构的意义描述等级结构的演变过程，预测未来的结构；确定为达到某个理想结构应采取的策略。引起等级结构变化的因素： 系统内部等级间的转移：提升和降级； 系统内外的交流：调入和退出(退休、调离等).用马氏链模型描述确定性转移问题 转移比例视为概率基本模型a(t)等级结构等级 i=1,2,k（如助教、讲师、教授）数量分布 n(t)=(n1(t), n2(t), nk(t)ni(t) t 年属于等级i 的人数， t =0,1, 比例分布 a(t)=(a1(t), a2(t), ak(t)转移矩阵 Q=pijkk, pij 是每
13、年从i 转至j 的比例基本模型基本模型 基本模型基本模型等级结构a(t) 状态概率P转移概率矩阵用调入比例进行稳定控制问题：给定Q, 哪些等级结构可以用合适的调入比例保持不变a为稳定结构用调入比例进行稳定控制求稳定结构 a=(a1,a2,a3) (a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0) a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*稳定域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行域A例 大学教师(助教、讲师、教授) 等级 i=1,2,3，已知每年转移比例用调入比例进行稳定控制研究稳定域B的结构寻求a aQ 的另一种形式用调入比例进行稳定控制稳定域是k维空间中以 si 为顶
14、点的凸多面体研究稳定域B的结构用调入比例进行稳定控制例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1) 0.2860.286S1S2S3B 稳定域B是以si为顶点的三角形用调入比例进行动态调节问题：给定Q和初始结构 a(0), 求一系列的调入比例 r, 使尽快达到或接近理想结构逐步法：对于Q和 a(0), 求 r使 a(1)尽量接近 a*, 再将 a(1)作为新的a(0), 继续下去。模型例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)a(0) 0.2860.286a*a(1)用调入比例进行动态调节求r 使a(1)尽量接近a*7423560.6390.36100.1650.1650.6700.7470.25300.2070.2070.5860.8270.17300.2350.2350.5310.8830.11700.2530.2530.4950.9220.07800.2640.2640.4720.9490.05100.2720.2720.457r(t), a(t) 的计算结果a(7)已接近a*观察r(t)的特点用调入比例进行动态调节10.50.500.10.10.8r(t)a(t)t
