自动控制原理第4章

《自动控制原理第4章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理第4章（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第四章根 轨 迹 法 第四章 根 轨 迹 法4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹的绘制 4.3 系统性能的分析 小 结 习题第四章根 轨 迹 法 4.1 根轨迹的基本概念 所谓根轨迹, 是指当系统的某个参数(如开环增益K)由零连续变化到无穷大时, 闭环特征根在复平面上形成的若干条曲线。图 4-1 控制系统框图 第四章根 轨 迹 法 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为 (4.1) 其中, k=2K, 式(4.1)便是绘制根轨迹所用的传递函数的标准形式。 由式(4.1)可得闭环系统的特征方程为 即 (4.2) 第四章根 轨 迹 法 所以, 闭环系统的特征根(闭环极点)为 (4.3) 从图可

2、以看出: (1) 当k=0时, s1, s2与p1, p2重合, 即开环极点和闭环 极点重合; (2) 当0k1时, s1, s2均为(-2, 0)区间内的负实数; (3) 当k=1时, s1 = s2=-1, 即两闭环极点重合; (4) 当1k时, , 即两闭 环极点互为共轭; (5) 当k时, s1, s2将沿着直线=-1趋于无穷远处 。 第四章根 轨 迹 法 需要指出的是, 绘制根轨迹时选择的可变参数可以 是系统的任何参量, 但实际中最常用的是系统的开环增益。根轨迹的分类：1、180根轨迹，负反馈系统；2、零度根轨迹，正反馈系统；3、系统中某个零点变化的根轨迹；4、系统中某个极点变化的根

3、轨迹；第四章根 轨 迹 法 图4-2 二级系统根轨迹第四章根 轨 迹 法 4.2 根轨迹的绘制 4.2.1 绘制根轨迹的基本条件反馈系统的特征方程为 1+G(s)H(s)=0 或写成 G(s)H(s)=-1 (4.4)(4.5)第四章根 轨 迹 法 将上式改写成 (i=0, 1, 2, ) 从而得出绘制根轨迹所依据的条件是 幅值条件 |G(s)H(s)|=1 (4.7) 相角条件 G(s)H(s)=argG(s)H(s)=180+i360 (i=0, 1, 2, )(4.8)(4.6)第四章根 轨 迹 法 1. 确定复平面上G(s)H(s)的零极点位置和根轨迹的分支数在复平面上标出系统开环零极

4、点的位置, 系统的根轨迹起点为开环极点, 终点为开环零点(或无穷远处)。因此, 根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数, 也就是说, 根轨迹的分支数等于闭环极点的个数, 也等于开环极点的数目。 4.2.2 根轨迹的绘制规则第四章根 轨 迹 法 2. 确定实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点确定。 实轴上根轨迹区段右侧的开环零极点数目之和 为奇数。 【例 4-1】 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 其中, T。 试大致绘出其根轨迹。 解 首先将开环传递函数化为如下标准形式:第四章根 轨 迹 法 式中, k=K/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开

5、环零点z1=-1/, 所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时, 两条根轨迹从开环极点开始; 当k时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另(2-1)=1条趋于无穷远处。并且根据开环零极点的位置, 可知实轴上的(z1,p1)和(-, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图如图4-3所示, 其中“”表示开环极点, “”表示开环零点。 第四章根 轨 迹 法 图 4-3 例 4-1 根轨迹图 第四章根 轨 迹 法 3. 确定根轨迹的渐近线如果开环零点的数目m小于开环极点数n, 即nm, 则有(n-m)条根轨迹沿着某条渐近线终止于无穷远处。 渐近线的方位可由下面的方程决定。 渐近线与实轴的交点坐标: (

6、4.10) 渐近线与实轴正方向的夹角: (k=0, 1, 2, ) (4.11) 第四章根 轨 迹 法 【例 4-2】 已知一四阶系统的特征方程为 试大致绘制其根轨迹。 解 先在复平面上标出开环零极点的位置, 极点用 “”表示, 零点用“”表示, 并根据实轴上根轨迹的确定方法绘制系统在实轴上的根轨迹。第四章根 轨 迹 法 确定系统渐近线与实轴的交点和夹角如下: a1=60 (q=0), a2=180 (q=1),a3=300 (q=2) 第四章根 轨 迹 法 图 4-4 例 4-2 根轨迹图 第四章根 轨 迹 法 4. 求出分离点两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点。则

7、根据分离点必然是重根点的条件, 可以得出分离点的确定公式 (4.12) (4.13) 或 (4.14) 第四章根 轨 迹 法 【例 4-3】 对于例4-2给出的四阶系统, 试确定其分离点坐标。 解利用式(4.13)或(4.14)可以求出分离点为d1=-4, d2=-2.5994, d34=-0.7003j0.7317将这四个值代入闭环系统方程(4.12), 可知d34对应的K 不满足大于零的要求, 所以将其舍去。 另外, 可以发现 d1=-4正是系统的开环极点(对应K0时系统的闭环极 点), 是一个重根。所以此系统的分离点坐标为(- 2.5994, j0)和(-4, j0)。 第四章根 轨 迹

8、 法 5. 确定根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交, 说明控制系统有位于虚轴上的 闭环极点, 即特征方程含有纯虚数的根。将s=j代入 特征方程(4.4), 则有 1+G(j)H(j)=0 将上式分解为实部和虚部两个方程, 即 (4.15) 解式(4.15), 就可以求得根轨迹与虚轴的交点坐标, 以 及此交点相对应的临界参数kc。 第四章根 轨 迹 法 【例 4-4】 求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点 坐标。 解 将s=j代入例4-2所给出的系统的特征方程, 可 得 4-j103-322+j(32+K)+K=0 写出实部和虚部方程: 4-322+K=0103-(32+K)=0 由此求得根

9、轨迹与虚轴的交点坐标为 因为34对应的K小于零,所以舍去。因此,系统根轨迹与虚轴交点坐标为(0,j4.5204)。 第四章根 轨 迹 法 6. 确定根轨迹的入射角和出射角所谓根轨迹的出射角(或入射角), 指的是根轨迹离开开环复数极点处(或进入开环复数零点处)的切线方向与实轴正方向的夹角。图4-5中的 为出射角, 为入射角。 第四章根 轨 迹 法 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为 (4.16) 根轨迹到达复数零点zr的入射角为 (4.17) 式中, arg()表示复数的相角(幅角)。 第四章根 轨 迹 法 图4-5 根轨迹出射角和入射角第四章根 轨 迹 法 总结：部分较简单系统的开环零点和开环

10、极点分布及其相应的根轨迹。第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 【补充1 】 设一单位负反馈系统的开环传递函数如下: 试绘制该系统的根轨迹。 第四章根 轨 迹 法 解：1、开环零极点：P1= =0，P2=-1，P3=-22、实轴上根轨迹区间(-,-2,-1,03、渐近线倾角:与实轴交点:第四章根 轨 迹 法 4、分离点或汇合点第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 【补充2 】设一单位负反馈系统的开环传递函数如下:试绘制该系统的根轨迹。 解：1、开环零极点：P1=0，P2=-2；Z1=-42、实轴上根轨迹区间(-，-4，-2,0第四章根 轨

11、 迹 法 3、渐近线倾角：与实轴交点：4、分离点或汇合点第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 【补充3 】设一单位负反馈系统的开环传递函数如下:试绘制该系统的根轨迹。解：1、开环零极点：P1=0，P2=-4，P3,4=-2j42、实轴上的根轨迹区间段：-4,0第四章根 轨 迹 法 3、渐近线倾角：与实轴的交点：第四章根 轨 迹 法 4、出射角5、分离点第四章根 轨 迹 法 6、根轨迹与虚轴的交点第四章根 轨 迹 法 令S1行全为0，可得k=260。然后对S2行作辅助方程：按上式列出劳斯表：第四章根 轨 迹 法 7、某些指定点对应的k值第四章根 轨 迹 法 第四章根

12、轨 迹 法 【补充4 】设一单位正反馈系统的开环传递函数如下:试绘制该系统的根轨迹。解： 1、开环零极点：P1=-3，P2,3=-1j；Z1=-22、实轴上的根轨迹区间段：(-,-3,-2,+第四章根 轨 迹 法 3、渐近线 倾角：与实轴的交点：第四章根 轨 迹 法 4、入射角5、分离点第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 程序代码：num1=1 2den1=conv(1 3,1 2 2)G=tf(num1,den1)rlocus(-G)第四章根 轨 迹 法 4.2.3 MATLAB绘制根轨迹在MATLAB中提供了绘制系统根轨迹的rlocus( )函数。已知系统开环传递函数的形式, 利用

13、此函数可以方便地绘制出系统的根轨迹。 【例 4-5】 设一单位负反馈系统的开环传递函数如下: 试绘制该系统的根轨迹。 第四章根 轨 迹 法 解 使用MATLAB绘制此根轨迹的程序如下:%ex -4 5num=1 1; den=conv(1 0, conv(1 2, 1 3); G=tf(num, den); rlocus(G)title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 轨 迹 法 图 4-6 例 4-5 的MATLAB仿真结果 第四章根 轨 迹 法 【例 4-6】 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为 试画出系统的根轨迹图。 解 用MATLAB绘制此系统根轨迹的

14、程序如下:%ex-4-6num=1 2 4; den=conv(1 0, conv(1 4, conv(1 6, 1 1.4 1); G=tf(num, den); rlocus(G)title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 轨 迹 法 图 4-7 例 4-6 根轨迹图 第四章根 轨 迹 法 【例 4-7】 已知系统的状态空间表达式为 其中, 试绘制系统根轨迹。 第四章根 轨 迹 法 解 给定系统的状态空间表达式, 也可以直接用rlocus(A, B, C, D) 绘制出根轨迹。MATLAB 程序如下: %ex-4-7 A=0 1 0; 0 0 1; -160 -56 -14; B=0; 1; -14; C=1 0 0; D=0; rlocus(A, B, C, D); title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 轨 迹 法 图 4-8 例 4-7 根轨迹图 第四章根 轨 迹 法 4.3 系统性能的分析 【例 4-8】 已知单位负反馈系统的开环传递函数 试用根轨迹分析开环放大倍数K对系统性能的影响, 并计算K5时, 系统的动态性能指标。解 系统根轨迹如图4-9所示。 第四章根 轨 迹 法 图 4-9 例 4-8 系统根轨迹 第四章根