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1、选修三小组汇报成员：赖剑春、吴雄伟、颜思延、 许鸿万、许伯奇、施恒义一.计数 二.随机变量 三.均值与方差 四.回归分析计数 基本原理： 一、分类加法原理（要求不重不漏 二、分步乘法原理（要求步骤完整 ）排列组合思想方法 正难则反 对应思想 分类与分步正难则反 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数 ，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少 种？ 总体（和为偶数）： 反面（和小于10）：0+1+3=4， 0+1+5=6,0+2+4=6,1+2+3=6,0+1+7=8,0+2+6= 8,0+3+5=8,1+2+5=8,1+3+4=8,共9种。 所求=总体-反面= -9
2、 种对应思想 更一般地，从n（如6）个不同的元素 中，无序但可重复地选取k（如4）个 元素。有多少种不同的选法同时掷4颗相同骰子会产生多少种结果？解法一： 由题意得，我们要从6个数中可重复地选取 4个数。也即从六个不同位置可重复地选取 4个位置。我们容易联想到隔板法问题中的 如下模型：在排成一行的五个相同小球的 间隙或两旁插入隔板，允许多隔板插入同 一位置，有几种不同隔法。对比两个模型 ，易知骰子的可能结果与隔板的隔法是一 一对应的！ 至于隔法有多少解法二 ： 将四颗骰子的结果从小到大排列， （a，b，c，d） 记为1abcd6，则 1ab+1c+2d+39，从19 中选出四个数，（a，b+1
3、，c+2 ，d+3）与（a，b，c，d）一一对 应，共有分类与分步思想 为了解题将问题划分为几种情况，使条件 具体化，使难点分散；对每种情况分别讨 论，各个击破；最后归纳概括，使整个问 题获解。这就是分类讨论的思想。把解题 的过程分化成有序的几个步骤，第一步实 现问题的部分中间状态，顺次实现所有的 中间状态，从而获得问题的最终解决，这 就是分步解决的思想。 从基本原理开始，几乎所有的计数问题都 体现了这一思想。方法总结 特殊优先策略 捆绑法 插空法 隔板法 先选后排 枚举 概率法 递推法特殊优先策略 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数 .由于末位和首位有特殊要求,捆绑
4、法 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素 ，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共 有 种不同的排法插空法 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独 唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺 序有多少种？ 分两步进行第一步排2个相声和3个独唱， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素 中间包含首尾两个空位，由分步计数原理, 节目的不同顺序共有 种隔板法 有10个运动员名额，分给（1）、（2 ）、（3）班3个班， （i）若每班至少一个,有多少种分配方 案？
5、 （ii）不限名额的多少、有无，有多少 种分配方案？ （iii）若各班得到名额个数均不少于其 班号，有多少分配方案？（iii） 先去掉3个名额，剩下7个名额，求每 班至少一个,有多少种分配方案？ （有 种） 只要在每种方案的（2）班添1个名额 ，（3）添2个名额便成了满足（iii）的 分配方案了。易知这种对应是一一对 应的。 所以，所求即先分组后分配 10位同学分到3个班级，一个班级2名，另两个班 级4名，有几种分法。 分组： 分配： 共 种 枚举 枚举时要注意分类，否则容易 遗漏，常见的枚举方法有： 树状图 列表格概率法 一天的课程表要排入语文、数学、物理、 化学、英语、体育六节课，如果数学
6、必须 排在体育之前，那么该天的课程表有多少 种排法？ 思考：概率法能解决的问题一般其他方法 也都能解决。但灵活运用概率法，有助于 提高解题速度。递推法二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：第k+1项： （0kn）利用通项公式 利用通项公式求值（或建立方程）。 已知 的展开式中 的系数为5 则a=（ ） 解：利用通项公式以及分类思想，我们有： 左括号内取1： 项 = 左括号内取ax： 项 = ，a=-1公式逆应用及赋值法 = 由公式，易得6S+1=（1+6）=7 S= 根据式子特征求导，然后赋值。 注意观察式子的特征，寻找所求和二项式公式 （或已知）之间的联系。从而进行转化。nn几个二项式系数
7、的性质（1）对称性（2）单峰性 （3）递推关系： （4）奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系 数和： （5）二次项系数和：随机变量 两点分布 二项分布 正态分布 均值与方差两点分布只有两种可能值的随机变量的分布，又称 作伯努利分布。如是否为正品、是否命 中、抛硬币等等都是两点分布。二项分布 若试验E只有两种相互对立的结果(A及非A)。那 么，把E独立地重复n次构成新的试验F。 则F中 事件A发生的次数X所服从的分布即为二项分布 ，记为 X B(n，p ）。 P（X=k）= 两点分布与二项分布的联系： 符合两点分布的试验，重复n次就构成了符合二 项分布的试验。正态分布 若随机变量X服从正态分布
8、， 则记为X（，） 正态分布曲线是单峰的，对称轴x=，它与 x轴之间的面积为1。 表示标准差， 它越大， 曲线越矮胖。 反之，它越小， 曲线越瘦高。2均值与方差， ，答案：（1）平均值=200，s =150 （2）P=0.6826 （3）E(X)=68.262对均值方差的 一些想法先来看一道例题： 将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成 125个同样大小的小正方体。经过搅拌后， 从中随机取出一个小正方体，记它的涂油 漆面数为X，则X的均值E（X）_ 。 通过概率分布列，很容易求出这道题。 容易发现这其实也是所有的小正方体被涂面数的 平均值：造成这种现象的原因 ： 样本中出现a的频率与概率分布列
9、中的a的概率一样。（当然，在本例中 ，频率也不得不和概率一样，本例中的概 率分布列是从样本中提取出来的！）所以也就是说，只要能找到一 个样本，使得其频率分布和 我们要求均值的概率分布列 相符，则该样本的平均值， 也即概率分布列的均值。如何找到这样的样本呢？由概率与频率之间的关系，我们有如下想法 ： 对于事件E的概率分布列，我们独立重复事 件E足够多次。每一次都有一个结果，将这 些结果放在一起。这些结果就构成了一个 满足频率与概率一样的样本。这个样本的 平均值，就是概率分布列的均值。随机变量的均值 一个概率分布列的均值就是以该概率分布 列进行足够多次的独立重复试验，所得到 样本的平均值。 有了以
10、上认识， 我们来思考一下书上的一个公式：若XB(n，p)，则E(x)=np两点分布与二项分布（均值篇） 若事件E的概率分布列为两点分布，将事件 E重复n次，构成一个新事件F，则事件F的 概率分布列就为二项分布。 如：抛一次硬币是两点分布；而抛两次硬 币则是二项分布。 注意：此处的重复与刚刚构造样本时的重 复是有一定的区别的！两种重复的区别 在构造样本时的重复中，我们一直是以一 个概率分布列进行重复。对于每次重复我 们仅记录结果，任意两次的重复之间没有 任何联系。 在两点分布构成二项分布的过程中，我们 将结果进行了叠加，形成了新的分布列用两点分布理解二项分布 将两点分布独立重复足够多次。记录下结
11、 果，得到样本1。将结果两两合并便得到 XB(2，p)的“独立重复多次的结果样本”（ 样本2）（对于XB(n，p)则每n个结果合并 ）。则样本1的平均值将是样本2的平均值 的二分之一（n分之一），也即 E(X)=np，E(X)为二项分布的均值，p为两 点分布的均值。不止如此 对于一个给定分布列（事件E），和将它重 复n次构成的新的分布列（事件F）。将事 件E重复足够多次，记录下结果，得到样本 1。再将结果每n个合并，得到事件F的“独 立重复多次的结果样本”（样本2）。（ 同理）结论： 对于任意一个给定分布列（事件E）， 和将它重复n次构成的新的分布列（事 件F）。都有“事件F分布列的均值是事
12、件E分布列的均值n倍”超几何分布与二项分布 老师曾说过：两种分布在均值上是相等的 。 如：10件产品中有两件次品，有放回和不 放回地取出3件，取得次品数的均值是相等 的。 容易验证： 有放回： 不放回： 均值都为：E(X)=3/5这是为什么呢？ 通过研究，我们组有了如下想法： 考虑不放回的分布列，重复m（足够多）次 ，以如下记录结果：（a，b，c），a、b、 c=0或1（a、b、c分别表示在一次试验中按 顺序取出的三个是否为次品（0表示非次品 ，1表示次品）。 将结果罗列出来，根据频率求平均值。方差 前面提到，一个概率分布列的均值就是以 该概率分布列进行足够多次的独立重复试 验，所得到样本的平
13、均值。 那方差是否也有这样的性质呢？ 即，一个概率分布列的方差就是以该概率 分布列进行足够多次的独立重复试验，所 得到样本的方差。 不妨也以刚刚的正方体为例。 （1）用概率分布列计算方差（2）计算整个样本的方差： 容易发现它们两个也是相等的。 所以，只要频率分布与概率分布列相符则 样本的方差和概率分布列的方差就会相等 。 于是我们也可以用同样的方法理解概率分 布列的方差。即，一个概率分布列的方差 就是以该概率分布列进行足够多次的独立 重复试验，所得到样本的方差。课本上的一个公式 XB(n，p)，则D(X)=np(1-p)。 对于这个公式我们是否可以以同样的方式 理解呢？用两点分布理解二项分布（
14、方差篇 ） 与之前的做法类似： 将两点分布独立重复足够多次。记录下结 果，得到样本1。将结果两两合并便得到 XB(2，p)的“独立重复多次的结果样本”（ 样本2）（对于XB(n，p)则每n个结果合并 ）。 考虑两方差之间的联系。容易发现，样本2 的方差是样本1的n倍。与均值一样，方差也有如下结论 ： 对于任意一个给定分布列（事件E）， 和将它重复n次构成的新的分布列（事 件F）。都有“事件F分布列的方差是事 件E分布列的方差的n倍” （有兴趣的同学可以试证明一下，方 法与两点推二项相似。）验证一下 求均值、方差 将上面分布列试验两次得到新的分布列如 下： 我的计算结果： E(X)=3/4 E(Y)=3/2=2E(X) D(X)=11/16 D(Y)=11/8=2D(X) 由此可见，结论应该是正确的。小结 （1）概率分布列的均值与方差和样本的均 值与方差的联系。 （2）当事件F（代表变量Y）由事件E（代 表变量X）重复而构成， 则E(Y)=nE(X)，D(Y)=nD(X ) （3）超几何分布与二项分布的均值回归分析 在计算斜率时，由于斜率的特性，可以将整个表 格x，y的数值整体移动。（由求斜率的公式也很 容易看出这一点） （连续n个整数的方差：
