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1、选修三小组汇报成员:赖剑春、吴雄伟、颜思延、 许鸿万、许伯奇、施恒义一.计数 二.随机变量 三.均值与方差 四.回归分析计数 基本原理: 一、分类加法原理(要求不重不漏 二、分步乘法原理(要求步骤完整 )排列组合思想方法 正难则反 对应思想 分类与分步正难则反 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数 ,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少 种? 总体(和为偶数): 反面(和小于10):0+1+3=4, 0+1+5=6,0+2+4=6,1+2+3=6,0+1+7=8,0+2+6= 8,0+3+5=8,1+2+5=8,1+3+4=8,共9种。 所求=总体-反面= -9
2、 种对应思想 更一般地,从n(如6)个不同的元素 中,无序但可重复地选取k(如4)个 元素。有多少种不同的选法同时掷4颗相同骰子会产生多少种结果?解法一: 由题意得,我们要从6个数中可重复地选取 4个数。也即从六个不同位置可重复地选取 4个位置。我们容易联想到隔板法问题中的 如下模型:在排成一行的五个相同小球的 间隙或两旁插入隔板,允许多隔板插入同 一位置,有几种不同隔法。对比两个模型 ,易知骰子的可能结果与隔板的隔法是一 一对应的! 至于隔法有多少解法二 : 将四颗骰子的结果从小到大排列, (a,b,c,d) 记为1abcd6,则 1ab+1c+2d+39,从19 中选出四个数,(a,b+1
3、,c+2 ,d+3)与(a,b,c,d)一一对 应,共有分类与分步思想 为了解题将问题划分为几种情况,使条件 具体化,使难点分散;对每种情况分别讨 论,各个击破;最后归纳概括,使整个问 题获解。这就是分类讨论的思想。把解题 的过程分化成有序的几个步骤,第一步实 现问题的部分中间状态,顺次实现所有的 中间状态,从而获得问题的最终解决,这 就是分步解决的思想。 从基本原理开始,几乎所有的计数问题都 体现了这一思想。方法总结 特殊优先策略 捆绑法 插空法 隔板法 先选后排 枚举 概率法 递推法特殊优先策略 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数 .由于末位和首位有特殊要求,捆绑
4、法 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素 ,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共 有 种不同的排法插空法 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独 唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺 序有多少种? 分两步进行第一步排2个相声和3个独唱, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素 中间包含首尾两个空位,由分步计数原理, 节目的不同顺序共有 种隔板法 有10个运动员名额,分给(1)、(2 )、(3)班3个班, (i)若每班至少一个,有多少种分配方 案?
5、 (ii)不限名额的多少、有无,有多少 种分配方案? (iii)若各班得到名额个数均不少于其 班号,有多少分配方案?(iii) 先去掉3个名额,剩下7个名额,求每 班至少一个,有多少种分配方案? (有 种) 只要在每种方案的(2)班添1个名额 ,(3)添2个名额便成了满足(iii)的 分配方案了。易知这种对应是一一对 应的。 所以,所求即先分组后分配 10位同学分到3个班级,一个班级2名,另两个班 级4名,有几种分法。 分组: 分配: 共 种 枚举 枚举时要注意分类,否则容易 遗漏,常见的枚举方法有: 树状图 列表格概率法 一天的课程表要排入语文、数学、物理、 化学、英语、体育六节课,如果数学
6、必须 排在体育之前,那么该天的课程表有多少 种排法? 思考:概率法能解决的问题一般其他方法 也都能解决。但灵活运用概率法,有助于 提高解题速度。递推法二项式定理二项式定理可以用以下公式表示:第k+1项: (0kn)利用通项公式 利用通项公式求值(或建立方程)。 已知 的展开式中 的系数为5 则a=( ) 解:利用通项公式以及分类思想,我们有: 左括号内取1: 项 = 左括号内取ax: 项 = ,a=-1公式逆应用及赋值法 = 由公式,易得6S+1=(1+6)=7 S= 根据式子特征求导,然后赋值。 注意观察式子的特征,寻找所求和二项式公式 (或已知)之间的联系。从而进行转化。nn几个二项式系数
7、的性质(1)对称性(2)单峰性 (3)递推关系: (4)奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系 数和: (5)二次项系数和:随机变量 两点分布 二项分布 正态分布 均值与方差两点分布只有两种可能值的随机变量的分布,又称 作伯努利分布。如是否为正品、是否命 中、抛硬币等等都是两点分布。二项分布 若试验E只有两种相互对立的结果(A及非A)。那 么,把E独立地重复n次构成新的试验F。 则F中 事件A发生的次数X所服从的分布即为二项分布 ,记为 X B(n,p )。 P(X=k)= 两点分布与二项分布的联系: 符合两点分布的试验,重复n次就构成了符合二 项分布的试验。正态分布 若随机变量X服从正态分布
8、, 则记为X(,) 正态分布曲线是单峰的,对称轴x=,它与 x轴之间的面积为1。 表示标准差, 它越大, 曲线越矮胖。 反之,它越小, 曲线越瘦高。2均值与方差, ,答案:(1)平均值=200,s =150 (2)P=0.6826 (3)E(X)=68.262对均值方差的 一些想法先来看一道例题: 将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125个同样大小的小正方体。经过搅拌后, 从中随机取出一个小正方体,记它的涂油 漆面数为X,则X的均值E(X)_ 。 通过概率分布列,很容易求出这道题。 容易发现这其实也是所有的小正方体被涂面数的 平均值:造成这种现象的原因 : 样本中出现a的频率与概率分布列
9、中的a的概率一样。(当然,在本例中 ,频率也不得不和概率一样,本例中的概 率分布列是从样本中提取出来的!)所以也就是说,只要能找到一 个样本,使得其频率分布和 我们要求均值的概率分布列 相符,则该样本的平均值, 也即概率分布列的均值。如何找到这样的样本呢?由概率与频率之间的关系,我们有如下想法 : 对于事件E的概率分布列,我们独立重复事 件E足够多次。每一次都有一个结果,将这 些结果放在一起。这些结果就构成了一个 满足频率与概率一样的样本。这个样本的 平均值,就是概率分布列的均值。随机变量的均值 一个概率分布列的均值就是以该概率分布 列进行足够多次的独立重复试验,所得到 样本的平均值。 有了以
10、上认识, 我们来思考一下书上的一个公式:若XB(n,p),则E(x)=np两点分布与二项分布(均值篇) 若事件E的概率分布列为两点分布,将事件 E重复n次,构成一个新事件F,则事件F的 概率分布列就为二项分布。 如:抛一次硬币是两点分布;而抛两次硬 币则是二项分布。 注意:此处的重复与刚刚构造样本时的重 复是有一定的区别的!两种重复的区别 在构造样本时的重复中,我们一直是以一 个概率分布列进行重复。对于每次重复我 们仅记录结果,任意两次的重复之间没有 任何联系。 在两点分布构成二项分布的过程中,我们 将结果进行了叠加,形成了新的分布列用两点分布理解二项分布 将两点分布独立重复足够多次。记录下结
11、 果,得到样本1。将结果两两合并便得到 XB(2,p)的“独立重复多次的结果样本”( 样本2)(对于XB(n,p)则每n个结果合并 )。则样本1的平均值将是样本2的平均值 的二分之一(n分之一),也即 E(X)=np,E(X)为二项分布的均值,p为两 点分布的均值。不止如此 对于一个给定分布列(事件E),和将它重 复n次构成的新的分布列(事件F)。将事 件E重复足够多次,记录下结果,得到样本 1。再将结果每n个合并,得到事件F的“独 立重复多次的结果样本”(样本2)。( 同理)结论: 对于任意一个给定分布列(事件E), 和将它重复n次构成的新的分布列(事 件F)。都有“事件F分布列的均值是事
12、件E分布列的均值n倍”超几何分布与二项分布 老师曾说过:两种分布在均值上是相等的 。 如:10件产品中有两件次品,有放回和不 放回地取出3件,取得次品数的均值是相等 的。 容易验证: 有放回: 不放回: 均值都为:E(X)=3/5这是为什么呢? 通过研究,我们组有了如下想法: 考虑不放回的分布列,重复m(足够多)次 ,以如下记录结果:(a,b,c),a、b、 c=0或1(a、b、c分别表示在一次试验中按 顺序取出的三个是否为次品(0表示非次品 ,1表示次品)。 将结果罗列出来,根据频率求平均值。方差 前面提到,一个概率分布列的均值就是以 该概率分布列进行足够多次的独立重复试 验,所得到样本的平
13、均值。 那方差是否也有这样的性质呢? 即,一个概率分布列的方差就是以该概率 分布列进行足够多次的独立重复试验,所 得到样本的方差。 不妨也以刚刚的正方体为例。 (1)用概率分布列计算方差(2)计算整个样本的方差: 容易发现它们两个也是相等的。 所以,只要频率分布与概率分布列相符则 样本的方差和概率分布列的方差就会相等 。 于是我们也可以用同样的方法理解概率分 布列的方差。即,一个概率分布列的方差 就是以该概率分布列进行足够多次的独立 重复试验,所得到样本的方差。课本上的一个公式 XB(n,p),则D(X)=np(1-p)。 对于这个公式我们是否可以以同样的方式 理解呢?用两点分布理解二项分布(
14、方差篇 ) 与之前的做法类似: 将两点分布独立重复足够多次。记录下结 果,得到样本1。将结果两两合并便得到 XB(2,p)的“独立重复多次的结果样本”( 样本2)(对于XB(n,p)则每n个结果合并 )。 考虑两方差之间的联系。容易发现,样本2 的方差是样本1的n倍。与均值一样,方差也有如下结论 : 对于任意一个给定分布列(事件E), 和将它重复n次构成的新的分布列(事 件F)。都有“事件F分布列的方差是事 件E分布列的方差的n倍” (有兴趣的同学可以试证明一下,方 法与两点推二项相似。)验证一下 求均值、方差 将上面分布列试验两次得到新的分布列如 下: 我的计算结果: E(X)=3/4 E(Y)=3/2=2E(X) D(X)=11/16 D(Y)=11/8=2D(X) 由此可见,结论应该是正确的。小结 (1)概率分布列的均值与方差和样本的均 值与方差的联系。 (2)当事件F(代表变量Y)由事件E(代 表变量X)重复而构成, 则E(Y)=nE(X),D(Y)=nD(X ) (3)超几何分布与二项分布的均值回归分析 在计算斜率时,由于斜率的特性,可以将整个表 格x,y的数值整体移动。(由求斜率的公式也很 容易看出这一点) (连续n个整数的方差: