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1、第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学13.2 函数的极值与导数第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学1掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求一些函数的极大值和极小值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学本节重点：函数极值的概念与求法本节难点：函数极值的求法第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学1曲线在极值点处切
2、线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负 ；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正，据此得到可导函数极值的概念对此概念的几点说明如下：(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义，是指在点x0及其左右邻域都有意义(2)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的(3)极值总是函数f(x)定义域的某个开区间内的点，因而端点绝不是函数的极值点第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学(4)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小第一章 导数及其应用 (选修2-2)人
3、 教 A 版 数 学2求可导函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)0的全部实根；(4)检查f(x)在f(x)0的根左、右两侧值的符号，如果左正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学3极值点与导数为0的点的关系：(1)导数为0的点不一定是极值点如函数f(x)x3在x0处的导数是0，但它不是极值点对于可导函数，极值点的导数必为0.因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点如函数f(x)|x|，在x0处，左侧(x0时)f
4、(x)10，右侧(x0时)f(x)10，当x0时f(x)0是f(x)的极小值点，但f(0)不存在第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学1极值点与极值(1)极小值与极小值点(对可导函数)如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：f(a) f(x0)(f(x0)表示f(x)在xa附近的函数值)；f(a) ；在xa附近的左侧f(x) 0，函数单调递；在xa附近的右侧f(x) 0，函数单调递增第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学(2)极大值与极大值点(对可导函数)如图，若b为极大值点，f(b)
5、为极大值，则必须满足：f(b) f(x0)(f(x0)表示f(x)在xb附近的函数值)；f(b) ；在xb附近的左侧，f(x) 0，函数单调增；在xb附近的右侧，f(x) 0，函数单调 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质0f(x)(或f(0)0，当y0时，f(x)0，因此yx3在(，)上是增函数，因为单调函数没有极值，所以yx3在x0处取不到极值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学点评 (1)f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的必要条件而不是充分条件，如果再加上x0附近导数的符号相
6、反，才能判定在xx0处取得极值(2)在区间上的单调函数是没有极值的，像这样的重点结论可记熟第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学判断函数y|axb|(a0)在其定义域内是否存在极值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学例2 求下列函数的极值(1)yx27x6；(2)yx327x.分析 求函数极值需求f(x)0的解及f(x)，f(x)的变化情况第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学当x3时，y有极大值，且y极大值54.当x
7、3时，y有极小值，且y极小值54.点评 1.判断可导函数极值的基本方法：设函数yf(x)在点x0及其附近可导，且f(x0)0.(1)如果f(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)为函数f(x)的极大值(2)如果f(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0)为函数f(x)的极小值(3)如果f(x)的符号在点x0的左右不变号，则f(x0)不为函数f(x)的极值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学2求可导函数极值的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)0的全部实根；(4)检查f(x)在方程f(x)0的根左、右两侧值的符号，如果左
8、正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)总之，求可导函数的极值的核心是：解方程f(x)0；列表；模拟图象；确定极大值或极小值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学求y4x3x22x的极值点和相应的极值解析 y12x22x22(6x2x1)2(3x1)(2x1)，第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学例3 已知f(x)ax5bx3c在x1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值分析 本题的关键是理解“f(x)在x1处的极大值为4，极小值为0”的含义即x1是方程f(x
9、)0的两个根且在根x1处f(x)取值左右异号第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学解析 f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)(1)当a0时，x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)y 000y极大 值无极 值极小 值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学点评 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学函数f(x)x3ax2bxa2，在x1时有极值10，则a、b的值为( )Aa3，b3
10、，或a4，b11Ba4，b1，或a4，b11Ca1，b5D以上都不正确答案 D第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学解析 f(x)3x22axbx1是函数f(x)的极值点，且在x1处的极值为10，f(1)32ab0f(1)1aba210当a3，b3时f(x)3x26x33(x1)2当x1时，f(x)0当x1时，f(x)0第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学当x1时函数不存在极值当a4，b11时符合题意，故应选D.第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学例4 求函数f(x)x33
11、x22在(a1，a1)内的极值(a0)解析 由f(x)x33x22得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x )00f(x)极大 值极小 值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学由此可得：当00，当a1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学一、选择题1若函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的( )A充分不必要
12、条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学2函数yx31的极大值是( )A1 B0 C2 D不存在答案 D解析 y3x20在R上恒成立，函数yx31在R上是单调增函数，函数yx31无极值第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学3三次函数当x1时，有极大值4；当x3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x答案 B解析 适合题意的函数满足f(1)4，排除A、C
13、、D.第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学二、填空题4若函数f(x)x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是_答案 a0解析 f(x)3x2a由题设条件知f(x)0应有两个不同实数根，a0.第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学5若x2是函数f(x)x(xm)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为_答案 32解析 f(x)(xm)22x(xm)3x24mxm2(xm)(3xm)第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学三、解答题6求下列函数的极值(1)f(x)x312x；(2)f(x)x2ex.解析 (1)函数f(x)的定义域为
14、R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学从表中可以看出，当x2时，函数有极大值16.当x2时，函数有极小值16.x(，2)2(2,2)2(2，) f ( x )00f(x )极大值 f(2) 16极小值 f(2) 16第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学(2)函数的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x )00f(x)极小值 0极大值4e2第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学第一章 导数及其应用 (选修2-2)人 教 A 版 数 学
