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1、偏微分方程教程第六章 椭圆型方程11 调和函数 【知识点提示】Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。【重、难点提示】 利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的基本性质。 【教学目的】掌握调和函数的定义和性质。21.1. Green公式 散度定理： 设 是 维空间中以足够光滑的曲面 所围成的有界连通区域,是曲面的外单位法向. 若函数 在闭区域 上连续, 在 内有一阶的连续偏导数, 则 (1.1) 其中 表示曲面 的外单位法向 与 轴的方向余弦, 是 上的面积元素. 3Green公式的推导： 设函数 和 在 内有连续的二阶偏导数. 在公式(1.1)中令得到 (1.2)
2、(1.2)可改写成为 (1.3) 4若将(1.3)中的和 互相对换,又得 (1.4) 我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式. 若将(1.3)与(1.4)相减,则得 (1.5) 我们把(1.5)称为第二Green公式. 1.2. 调和函数与基本解 定义 6.1 对于函数 ,如果它在 维空间 的有界区域 内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程： 5(1.6) 则称 在区域 内是调和函数. 如果 , 则称 在区域 内是下调和(上调和)函数. 如果 是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点 趋于无穷远时, 函数 一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数 ,使当点
3、与坐标原点的距离 时, 总有 按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程. 调和方程的基本解 我们仅考虑三维空间和二维空间的情形. 6首先我们考虑三维的情形. 用 表示三维空间中的点 改写 三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为 则(1.6)(取)可化为 (1.7) 由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 为自变量的常微分方程7其通解可写为 这里 是任意常数. 所以函数 , 是一个球对称特解, 从而推得在任一不包含点 的区域内是调和的, 它在点 处有奇性. 称函数 为三维Laplace方程(1.6)的基本解 8注 基本解在 时关于 或 都是调
4、和且无穷次可微. 函数其次, 考虑二维Laplace方程 在极坐标变换 下它可化为 (1.8) 二维Laplace方程的基本解 定理 6.1 设函数 在有界区域 内二阶连续可微, 在 上连续且有连续的一阶偏导数, 则当点 时, 有 9(1.9) 其中 是边界曲面 的外单位法向, 是曲面 上的面积单元, 是体积单元. 证 以 为中心 为半径作球使表示该球的球面,于是在区域 上,函数和 都满足第二Green公式的条件,代入公式(1.5)得(1.10) 因为在区域内是调和函数, 所以有. 另外边界 上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心 的方向, 所以在 上有 10从而得到在上的积分为
5、其中 和分别是函数 和在 球面 上的平均值.于是(1.10)可写成因为 及 在 上连续，所以 关于 一致有界, 且当 时,有 ,11于是由上式即得 定理证毕. 今后, 我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式. 定理 6.2 设函数 在有界区域 内二阶连续可微， 在 上连续且有连续的一阶偏导数，则当点 时有 (1.11) 其中 表示 上的线元素, 是 上的面积元素. 1.3. 调和函数的基本性质 性质 6.1 设 是有界区域 内的调和函数, 且在 上有连续的一阶偏导数,则 12(1.12) 证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 ,取 为所给的调和 函数,由此性质可得出, Lap
6、lace方程的第二边就可得到(1.12). 值问题有解的必要条件是函数 满足 性质 6.2 设 是有界区域 内的调和函数,且在闭区域 上有连续的一阶偏导数,则在 内的任一点 处有 13(1.13) 证 利用基本积分公式(1.9)即得. 类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到 (1.14) 其中 是平面上有界区域 的边界. 性质 6.3 (平均值定理) 设 是区域 内的调和函数, 是 内的 任一点以, 为心 为半径作球 只要球 连同其边界 包含在 内,则有公式 (1.15) 14证 将公式(1.13)应用于球面 上,得到 这里 ,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零,在球
7、面上的外法线方向与半径的方向一致,于是 又因为所以有 我们把调和函数的这一性质称为平均值定理, 公式(1.15)15称为平均值公式, 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的平均值.注1 对区域 内的下调和(上调和)函数 , 我们有 (1.17) 性质 6.4 (强极值原理) 假设不恒为常数的函数 在有界区域 ,内调和且在 上连续, 则它在 上的最大值和最小值只能在的边界 上达到. 证 用反证法. 假设调和函数 在 上的最大值不在 上达到, 那么它必在 内的某一点 达到, 记 当然 也是 在 上的最大值. 16以 为心 为半径作球 使 完全包含于 内, 记 的球面为 ,可以证明,在上有 事实上,
8、若函数 在 上某一点的值小于, 则由连续性知, 上必可找到此 在球面点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有 , 于是在 上成立不等式 但由平均值公式(1.15),有 这就发生了矛盾. 所以在球面 上,必须有 17同理可证, 在任一以 为心, 为半径的球面 上, 也有 . 因此,在整个球上,有 下面证明对 内的所有点,都有 . 为此在 内任取一点 , 由于 是区域, 所以可用完全位于 内的折线 将点 和连结起来, 设 与边界 的最短距离为,于是函数 在以为心为半径的球上, 恒等于, 若 与球的球面相交于 点, 显然, 在以 为心 为半径的球 上, 有 照此作下去,可用有限个球 .将折线 完全覆盖,
9、 而且18使, 因为在每个球上都有 , 所以 由点 的任意性,就可得到在整个区域上, 有 这和函数 在 上不恒等于常数的假设相矛盾. 因此 不能在的内部取得它的最大值. 对于最小值的情形, 由 的最小值就是 的最大值, 而 也是调和函数,从而推得函数 也不能在 的内部取得它的最小值. 定理证毕.推论 6.1 (调和函数的比较原理) 设 和 都是有界区域 内的调和函数, 且在 的边界 上连续, 如果在 上有不等式 19, 则在内亦有. 并且只有在 上时, 在内才会有等号成立的可能. 对于二维调和函数 , 类似的极值原理成立. 注2 (下(上)调和函数的强最大(小)值原理) 设不恒为常数的函数是 内的下(上)调和函数, 则它在上的最大(小)值的边界 上达到. 只能在证明留给读者自己完成.20
