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1、第四节 函数展开成幂级数第四节 函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示一. 泰勒级数第三章研究过泰勒公式:其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数.余项此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为由此引入泰勒级数:1. 定义 若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则f(x)在 的泰勒级数泰勒系数麦克劳林级数2. 泰勒定理:若f(x) 在 的某邻域内具有各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论,证明略)注: (1) 则f(x)在 的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)若f(x)在 的泰勒级数收敛于f(x),即泰勒展开式(2) 如
2、果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.则称 f(x)在 可以展开成泰勒级数二. 函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成 x 的幂级数. 麦克劳林级数1. 直接展开法(1) 求出如果某阶导数不存 在,说明不能展开(2) 求出(3)求出收敛半径R(4) 在(-R,R)内,如果则 f(x)例 将函数展开成 x 的幂级数收敛半径有限趋于零,因为 收敛 所以(循环)收敛半径所以0牛顿二项式级数注: 1时,展式在 x =1成立;0时,展式在 x = 1成立.2.间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法(2)变量替换法(3)四则运算法例 将函数展开成 x 的幂级数作变量替换例 将 分别展开成 x 的及 x1 的幂级数例 将 展开成 x1的幂级数练习
