代数系统和群1

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1、 Galois 第六章 群 与 环 6.1 代 数 系 统对于代数系统而言,运算是它的决定性因 素,因此,必须首先明确运算的概念。 在代数系统中二元代数运算用得最多,所以 我们给出其定义并讨论其性质。 定义6.1.1 设S是一个非空集合，称SS 到S的一个映射f为S的一个二元代数运 算，即,对于S中任意两个元素a,b,通过f, 唯一确定S中一个元素c： f（a，b）= c，常记为a * b = c。 由于一般情况下,(a,b),(b,a)是SS中不 同的元，故a * b未必等于b * a。例如，S=a,b, 则SS=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b) 映射f为： (a,a)-a(a

2、,b)-a(b,a)-b(b,b)-bf称为S的一个二元代数运算，有f(a,a)=af(a,b)=af(b,a)=bf(b,b)=b,也可表示为：a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b例6.1.1自然数集N上的加法和乘法是N上的二元代 数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算， 因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自然 数。 例6.1.2 整数集Z上的加法、减法、乘法都是Z上 的二元代数运算;除法不是Z上的二元代数运算. 例6.1.3 非零实数集R*上的乘法、除法是R*上的 二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数 运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出0 。 例6.1.4 矩

3、阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的 二元代数运算。 例6.1.5 设S是一个非空集合，（S） 是S的幂 集，则集合的交运算、并运算是（S）上 的二元代数运算。 例6.1.6 逻辑连接词合取、析取、蕴涵、 等价都是真值集合0，1上的二元代数运算。定义6.1.2 设 * 是集合S上的二元代数 运算，如果对于S中任意两个元素a，b， 等式a * b = b * a都成立，则称运算 “*”满足交换律。 例如整数上的加法。定义6.1.3 设 * 是集合S上的二元代数 运算，如果对于S中任意三个元素a，b， c，等式 （a * b） * c = a * （b * c） 都成立，则称运算 * 满足结合律。 例

4、如整数上的加法。定义6.1.4 设 * 是集合S上的二元代数运算，a是 S中的元素，如果a * a = a 则称a是关于运算 * 的幂等元。 如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算 “*”满足等幂律。 如在整数中看，1是关于乘法的幂等元，0是关于加 法的幂等元，但乘法和加法都不满足等幂律。定义6.1.5 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数 运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式 a *(b + c)= (a * b)+ (a * c)， (b + c)* a =(b * a)+(c * a） 都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。 定义6.1.6 设 * 和 + 是集合

5、S上的两个 二元代数运算，如果对于S中任意两个元 素a，b，等式 a * （a + b） = a ， a + （a * b） = a， 都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。 例6.1.7 整数集Z上的加法、乘法都满足 结合律和交换律，乘法对加法满足分配 律，但加法对乘法不满足分配律；减法 不满足结合律，也不满足交换律；它们 都不满足等幂律，也不满足吸收律。 例6.1.8 n阶实矩阵集合上的加法满足结 合律,也满足交换律;乘法满足结合律， 但不满足交换律;它们都不满足等幂律, 也不满足吸收律。 例6.1.9 设S是一个非空集合，(S)是S 的幂集,则(S)上的交运算、并运算 都满足结合律,

6、交换律,对、对 都满足分配律,它们都满足等幂律,也 满足吸收律。 定义6.1.7 设 * 是集合S上的二元代数运 算,如果对于S中任意三个元素a,b,c, （1）若 a * b = a * c，则b = c， （2）若 b * a = c * a，则b = c， 就称 * 满足消去律。例6.1.10 整数集Z上的加法满 足消去律，但乘法不满足消去律， 例如，3 * 0 = 5 * 0，但35。 例6.1.11 n阶实矩阵集合上的 加法满足消去律，但乘法不满足 消去律，例如，= ,但定义6.1.8 设S是一个非空集合，f1， ，fm是S 上的若干代数运算，把S及 其运算f1，fm看成一个整体来看

7、, 叫做一个代数系统， 记为（S， f1，fm）例6.1.12 设S是一个非空集合，（S） 是S的 幂集，和是（S）上的交运算和并运算, 则（S），）为代数系统。 例6.1.13 设Z为整数集,Z0为偶数集,N为自然数 集,+、是数的加法和乘法,则(Z,+)、(Z,) 、(Z,+,)都是代数系统； (Z0,+)、(Z0,) 、(Z0,+,)都是代数系统；(N,+)、(N,)、(N,+,)都是代数系统； 如果用 、分别表示求最大公约数和求最小公 倍数的运算，那么 （Z, ,）、（Z0, ,）与（N， ，）也都 是代数系统。 例6.1.14 设、是真值集合0，1上的合取 与析取运算，则（0，1，）

8、是代数系 统。作业：196页，1。习题6.11. 设W1、W2、W3分别为是模6的剩余类集合Z6的子 集：W1= ， ，W2= ， ， ，W3= ， ， ，试问剩余类加法是不是这些子集的二元代数运 算？解：剩余类加法对W1，W2是二元代数运算，而W3不 是。 2. S=2n | nN，加法是S上的二元代 数运算吗？乘法呢？解：加法不是S上的二元代数运算，乘法 是。 3. 自然数集N 上的二元代数运算 * 定 义为x * y = xy， * 是否满足结合律？是否满足交换律？解: (a*b)*c= (ab)c= abc a*(b*c)=a*b=ab, b*a=ba 所以，都不满足。 4. 设 *

9、是集合S上的二元代数运算， 且满足结合律,设x,y是S中任意元素， 如果x * y = y * x，则x = y。试证 明 * 满足等幂律。证明：由于对S中任意的x，y和z，有 x*(y*z)=(x*y)*z，故x*(x*x)=(x*x)*x，于是有x*x=x。 5. 设 + 和 * 是集合S上的两个二 元代数运算，对于S中任意元素x和y， x + y = x。证明 * 对于 + 满足分配 律。证明：设x，y和z是S中任意三个元素， 则 x*(y+z)=x*y=x*y+x*z，且 (y+z)*x=y*x=y*x+z*x， 故* 对于 + 满足分配律。6.2 群 的 定 义 6.2.1 半 群

10、定义6.2.1 设G是一个非空集合，若为G上的 二元代数运算，且满足结合律，则称该代数 系统（G， ）为半群。例6.2.1 设S是一个非空集合，（S） 是S 的幂集，和是（S）上的交运算和并运 算，则（S），）为半群， （S），）为半群。例6.2.2 设Z为整数集,+、-、是数的加法、 减法和乘法,则(Z,+)、(Z,)都是半群； （Z， -）不是半群，因为减法不满足结合律。例6.2.3 设N为自然数集，规定N上的运算 “”如下： a b = a + b + ab，其中+、是数的加法和乘法,a，b是N中任意元 素。显然,为N上的二元代数运算。对N中任 意三个元素a,b,c,有： (ab)c=(

11、a+b+ab)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+bc+ac+abc， a(bc)=a(b+c+bc） =a+（b+c+ bc）+a（b+c+ bc） = a + b + c + ab + bc + ac + abc， 故，（ab）c = a（bc），满足结合 律，因此，（N， ）为半群。例6.2.4 设S是一个非空集合，规定S上的运 算如下： ab=b，其中a，b是S中任意元素。显然为S上的二元 代数运算。对S中任意三个元素a，b，c， 有：（ ab）c =bc=c， a（bc）=ac =c，故，（ab）c = a （bc），满足结合 律，因此，（S，）为半群。

12、6.2.2 群 定义6.2.2 设（G,）为半群，如果满 足下面条件：(1) G中有一个元素1，适合对于G中任意 元素a，都有1a = a1 = a;(2) 对于G中任意a，都可找到G中一个元 素a-1，满足aa-1 = a-1a = 1， 则称（G， ）为群。元素1称为G的单位 元素，a-1称为a的逆元素。如果群G包含 的元素个数有限，则称G为有限群，否则 称G为无限群。下面用|G|表示有限群G所包含的元素 个数。 例6.2.6 设Q为所有有理数组成的集合，R 为所有实数组成的集合，C为所有复数组成 的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合, R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非 零复数

13、组成的集合，+、是数的加法和乘 法，则 （Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群； (Q,)、（R， ）、（C，）都不是群 ，因为0无逆元素；(Q*,)、（R*， ）、（C*，）都是群 。例6.2.7 设S是一个非空集合， (S) 是S的幂集,和是(S)上的交运算和 并运算，则 (1)半群(S),)不是群,虽然存在单位 元素S,但不是任意元素都存在逆元素； (2)半群(S),)也不是群,虽然存在单 位元素：空集，但不是任意元素都存在 逆元素。 例6.2.8 例6.2.3中半群（N， ）不是 群，因为不存在单位元素。假定有单位 元素，设为e，则对N 中任意元素a，都 应有e a = a，即e +

14、 a + ea = a ，因此，e=0，但0N。例6.2.9 例6.2.4中半群(S,)也不是群, 因为不存在单位元素。 例6.2.10 设A是实数域上所有n阶非奇异 矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则不难验 证（A，*）是群。 例6.2.11 设S=0，1，2，m-1，规 定S上的运算如下：ab= ，其中a，b是S中任意元素，+、-为数的加 与减。则（S，）是群，称为模m的整 数加法群。6.2.3 群 的 性 质定理6.2.1 设(G,)是一个群，则G中恰有一个 元素1适合1a=a1=a,而且对于任意a恰有一 个元素a-1适合aa-1=a-1a=1。证明：若1和1都是单位元素，则1=11=1 ，

15、故1=1。 若b和c都有a-1的性质, 则b=b1=b(ac)=（ba）c = 1c = c, 故b = c. 这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆 也是唯一的。易见（a-1）-1=a。 例如，S=0,1,2,3,4,运算是模5加运算，则 单位元有且只有一个为0。 0的唯一的逆元素是0； 1的唯一的逆元素是4； 2的唯一的逆元素是3； 3的唯一的逆元素是2； 4的唯一的逆元素是1。 如果，S=0,1,2,3,运算是模4加运算,则单位 元也有且只有一个为0。 0的唯一的逆元素是0； 1的唯一的逆元素是3； 2的唯一的逆元素是2； 3的唯一的逆元素是1。定理6.2.2 群定义中的条件 （1）和（2）可以减弱如下： （1） G中有一个元素左壹适合1a=a; （2） 对于任意a，有一个元素左逆a-1适合a-1a=1。证明：只要证明由（1）、（2）（和其余 的条件联合）可以推出(1)和(2)，即只需证明a1 = a和aa-1 = 1。先证aa-1=1。因为(a-1a)a-1=1a-1= a-1，故(a-1a)a-1= a-1。