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1、与 积 分 变 换复 变 函 数 Email: 张红梅石家庄学院数学与信息科学系Tel:13011588912 QQ：807819046一、教学及考核方式考试方式： 闭卷考试成绩： 出勤和作业占 30%，考试占 70%作业： 每周一交一次课堂教学： 48学时二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础理论课，是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。复变函数的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射以及解析函数在平面场的应用。积分变换的
2、内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。参考书1、余家荣，复变函数，高等教育出 版社，2003年 2、钟玉泉复变函数第三版，高等教 育出版社， 2004年 3、杨林生，乔玉英，复变函数，高 等教育出版社，2001年 4、华中科技大学数学系，复变函数与 积分变换，高等教育出版社，2008年复变函数与积分变换及应用背景（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992) (古今数学思想(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作者, 美国数学史 家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最独特的 创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统 治了十九世纪,几
3、乎象微积分的直接扩展统治了 十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为 这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中 最和谐的理论之一.复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。 复变函数理论产生于十八世纪，Euler、DAlembert、Laplace等都是创建这门学科的先驱。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人为这门学科的发展作了大量奠基性的工作。这三位数学家从完全不同的途径研究复变函数理论而得到殊途同归的效果。例如：1.发展历史：积分理论级数理论几何理论复变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰
4、饶的数学分支，并且称为是这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展， 瑞典数学家Leffler、法国数学家Poincare、Hadamard等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。复变函数论不仅是我们所学实变函数微积分数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛地应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制理论等，目前还被广泛应用于信号处理、电子工程、智能计算等领域。更重要的是，有很多复杂的计算都是以复变函数为工具来解决的。比如物理学上
5、有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。的概念, 从而建立了复变函数理论. 为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分. (1) 代数方程 在实实数范围围内无解. （阿达马）说: 实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了应用复变主要应用(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5) 应用于计算渗流问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.例如：热炉中温度的计算.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而
6、研究机翼的造型问题.主要应用变换应用于频谱分析和信号处理等. (7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(8)主要应用变换应用于控制问题.在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(10) Z变换应用于离散控制系统.(11) 小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质
7、勘探与地震预报等等.(12) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件(9)主要应用第一章 复数与复变函数复数领域的推广和发展 。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人的长期努力，复数的地位才被确立下来。复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等。则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。(虚数史话)卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它们与负数统称为“虚伪数
8、”；把正数称为“证实数”。附：历史知识 虚数史话两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数卡尔丹发现只要把 10 分成 和 即可。1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在大术中求解这样的问题：卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。附：历史知识 虚数史话整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量” 。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。意义下的“复数”的名称。1632 年，笛卡尔在几何学中首先把这种“虚构的量”改称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，还给出了如今附：历史知识 虚数史话到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。1722 年，法国数学家德摩
9、佛给出德摩佛定理： 其中 n 是大于零的整数。1748 年，欧拉给出了著名的公式：并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文微分公式中首次使用 i 来表示附：历史知识 虚数史话十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。1797 年，当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们直观地理解了复数的真实意义。十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。而且 n 次多项式恰好有 n 个根。任何多项式在复数域里必有根，即附：人物介绍 高斯许多数学学科的开创者和奠基人。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。享有数学王子的美誉。德国数学家、(17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理学家、 天文学家高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，历时67年，出版了高斯全集，共12卷。附：人物介绍 高斯在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑，它的底座砌成 正十七边形，纪念碑上是高斯的青铜雕像。18岁(返回)
