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1、近世代数基础补考复习练习 王尚文 近世代数基础基本概念 群论 环和 域第一章 基本概念n集合 n映射n代数运算n结合律n交换律n分配律n一一映射n同态n同构、自同构n等价关系与集合分类第二章 群论n群的定义n单位元、逆元、消去律n有限群的另一定义n群的同态n变换群n置换群n循环群n子群n子群的陪集n不变子群、商群n同态与不变子群第三章 环和域n加群、环的定义n交换律、单位元、零因子、整环n除环、域n无零因子环的特征n子环、环的同态n多项式环n理想n剩余类环、同态与理想n最大理想集合的定义n若干个固定事物的全体叫做 一个集合 简称集n元组成一个集合的事物叫做 这个集合的元素 有时简称元n一个没有
2、元素的集合叫做空 集合n集合的积 令A1 A2 ，An是n个集合，有一切从 A1 A2，An里顺序取 出的元素组（a1 ，a2， a3，an）（ aiAi）所做成的集合叫做 集合 的积n子集 若集合b的每一个 元素都属于集合a，我们说， b是a的子集n交集 集合a和集合b的所有 共同元所组成的集合就叫做a 和b的交集n并集 由至少属于集合a和b之 一的一切元素组成的集合就 叫做a和b的并集映射n映射的定义 假如通过一个法则，对于任何一个 A1A2An的元都能得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合A1A2An到集合 D的一个映射 像 逆象， n映射的相同 效果相同就行 代数运算n定义一个A
3、B到D的映射叫做一个AB到D的代数运算n代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来表示n二元运算 假如。是一个AA到A的代数运算，我们说集合A是 闭的 二元运算分配律n第一分配律 b（a+b）=（ba)+(bna）n第二分配律 （a1+a2）b=（a1b）+（a2b）同态n同态映射 一个A到的映射l，叫做一个代数运算和 来说，A到的同态映射，假如，在之下不管a和b 是A的哪两个元，只要aa，bb 就有a b a bn假如运算1和1来说，有一个A到A的满射的同态映射 存在，同态满射n同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 n自同构等价关系与等价类n集合的
4、等价关系 假如满足以下规律反射律；a a，不管a是A的哪个元。， 对称律:abba ，推移律：ab，bc=a c 同余关系群的定义n群的第一定义 一个不空集合G对于乘法的代数 运算来说做成一个群，假如 G对于这个乘法来说是闭的 结合律成立：a（bc）=（ab ）c对于G的任意的三个元a， b，c都对； 对于G的任意两个元a，b来说 ，方程ax=b 和ya=b都在G 里有解n群的第二定义 G对乘法是闭的 结合律成立：a（bc） =(a b)c对于G里的任意元都对 G里至少存在一个左单 位元e，能让ea=a 对G 中的任意a都成立 对于G的每个元a，在G 里至少存在一个左逆元 a 能让aa=e 单
5、位元、逆元、消去律n单位元 一个群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的单位元n逆元 一个群的每一个元a来说，在群里存在一个而且只存在一 个元a，能使aa=aa=en消去律 若 ax=ax，那么x=x若 ya=ya，那么y=y群的同态n定理 假定G与G对于它们的乘法来说同 态，那么G也是一 个群n注意 假如G和G同态，那么不一定是群n定理2 假定G和G是两个群。在G到G的一个同态映射下，G的 单位元e的象是G的单位元，G的元a的逆元a的象是a的象的逆元n在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相 互对应。变换群n定理1 假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒 等
6、变换，若是对乘法（：aa，：aa 那么a（a(） 来说做成一个群，那么G只包含A的一一变换 。n变换 群 一个集合的若干个一一变换对 于以上规定的乘法做成的 一个群叫做A的一个变换 群n定理2 一个集合的所有一一变换 做成一个变换 群n定理3 任何一个群都同一个变换 群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c 我们在G里任意取出 一个元x来，那么x：ggx=gx是集合的一个变换 。因为给 了G 的任意元g，我们能够得到一个唯一的G的元gx。这样 由G的每 个元x，可以得到G的一个变换 x。我们把所有这样 的来的G的变 换放在一起，做成一个集合G= a，b，c 那么xx是G 到G的满射，但
7、消去律xy=gxgy告诉我们若xy，那么x y，所以xx是一一映射。在进一步看，是同构映射 所以任何 群和一个变换群同构置换群n一个有限集合的一一变换叫做置换n一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。n定义 一个包含n个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群 snn定理 1 n次对称群sn的阶是n！n定义 sn的一个把ai1变到ai2而使得其余的元， 假如还有的话，不变的置换，叫做一个k-循环置换n定理2 每一个n个元的置换都可以写成若干个互相没有共同数字 的循环置换的乘积。n定理3 每个有限群都与一个置换群同构循环群n定义 若一个群G的每一个元都是G的某个固定元a的乘 方，我们就把G
8、叫做循环群，我们也可以说，G是由元a 生成的，并且用符号G=（a）来表示。a叫做G的一个 生成元n定理 假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构 造完全可以由a的阶来决定 a的阶若是无限，那么G与整数加群同构 a的阶若是一个有限整数n，那么G与n的剩余类加群同构子群n定义 一个群的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对 于G的乘法来说做成一个群n做成子群的必要条件; ,a， bH=abHaH=a Hn定理 做成子群的充分必要条件a，bH=ab Hn一个群的不空有限子集H作成G的一个子群的充分必要 条件是：a，babH子群的陪集ab 当且仅当ab H时 是一种等价关系 ab当且仅当baH是 也
9、是等价关系等价关系的类是右陪集 Ha 第一种情况由所决定的类是左陪 集 第二种情况一个右陪集的个数和 左陪集的个数相等 它们或者都是无限大 或者都是有限并且相等子群的陪集续n指数 一个群的子群的右陪集的个数叫做H在G里的指 数n假定H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里 的指数j都能整除G 的阶N 并且N=njn一个有限群的任一元a的阶n都能整除G的阶不变子群、商群n定义 一个群G是一个子群N叫做一个不变子群，假如对 于G的每个元a来说，都有Na=aN 一个不变子群的一 个左(右)陪集叫做N的一个陪集n一个群G的一个子群是一个不变子群的充要条件是： aNa=N 对于任意元a都成立n充要
10、条件 aG，nN=anaNn商群 一个不变子群N的陪集所做成的群叫做一个商群 G/N 有限群时 G的阶/N的阶=G/N的阶同态、不变子群n一个群G同他的每一个商群G/N同态n同态映射的核 ：假定 &是一个群G到另一个群G的一个 同态映射。G的单位元e在&之下的所有逆象所做成的 G的子集就叫做同态映射的核 。n定理 假定 G 与G是两个群，并且G与G同态，那么这 个同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/NG加群、环的定义n加群 一个交换群叫做一个加群n环 一个集合叫做一个环 1 R是加群 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交 换群 2 R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的 3 这个乘法
11、适合结合律：a（bc）=（ab）c不管a，b，c 是R的哪三个元两个分配律都成立 a（b+c）=ab+ac（b+c）a=ba+ca交换律、单位元、零因子、整环n交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个 元n单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元n零因子 若环里a0，b0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子n整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba.R有单位元1：1a=a1=a R没有零因子ab=0=a=0或b=0除环、域n除环 1， R至少包含一个而不等于零的元 2，R有单 位元 3，R的每一个不等于零的元有一个逆元n域 一个交换除环叫做一个域n在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来 说的阶都一样的n一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征n整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数子环、环的同态n一个非空子集作成子环的充要条件是，a ，bS=a-bS abSn一个除环的子集作成子除环的充要条件是 1，包含一个不等于零的元 2，a， bS=a-bS a，bS b0=ab S多项式环理想n一个环的非空子集 叫做理想子环 理想 nra 既有单位元又是交换环 生成理想 主理想 ra +na 是交换环时
