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1、第二节常数项级数敛散性判别法一.正项级数敛散性判别法三.任意项级数及其敛散性判别法二.交错级数及其敛散性判别法常数项级数正项级数交错级数任意项级数一.正项级数敛散性判别法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔比值判别法柯西根值判别法1.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义定义实质上应是非负项级数2.正项级数收敛的充要条件正项级数Sn 有界.定理定理正项级数的部分和数列是单调增加的单调有界的数列必有极限理由理由在某极限过程中有极限的量必有界级数是否收敛？该级数为正项级数, 又有(n =1, 2, )故 当n 1 时, 有即其部分和数列 Sn 有界, 从而, 级数解例13. 正项级数敛散性
2、的比较判别法且 0 un vn ( n = 1, 2, )大收小收, 小发大发.记 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn证 (1)记 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn证 (2)判断级数的敛散性. ( 0 0 ) 的敛散性.当 p1时, P 级数为调和级数:它是发散的.当 0 1 时, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 项而对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：故当 p 1 时, P 级数收敛.综上所述:当 p 1 时, P 级数收敛.当 p 1 时, P 级数发散.4.比较判别法的极限形式由于( 0 0, N 0, 当 n N 时,不妨取运
3、用比较判别法可知,具有相同的敛散性.证(1) 当 0 0, 当 n N 时,故由比较判别法, 当 = 0 时,证(2)由于( = ) M 0 (不妨取 M 1) , 即由比较判别法,证(3)故 N 0, 当 n N 时,当 = 时,0 vn 0 为常数).因为( 即 = 1 为常数 )又是调和级数, 它是发散的,发散.解原级数故例4解由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：例55.达朗贝尔比值判别法(1) 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身利用级数本身 来进行判别来进行判别. .判别级数的敛散性, 其中, x 0 为常数.即 = x
4、2 , 由达朗贝尔判别法：解记则需要讨论 x 的取值范围例6当 0 1 时, 1, 级数发散.当 | x | =1 时, = 1, 但原级数此时为这是 n = 2 的 P 级数, 是收敛的.综上所述, 当 0 1 时, 原级数发散.解这是一个正项级数:单调增加有上界, 以 e 为极限. 例7由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛 . 由级数收敛的必要条件得利用级数知识求某些数列得极限利用级数知识求某些数列得极限. .例8解达朗贝尔( DAiember Jean Le Rond )是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一
5、教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣 。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树 。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为
6、达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。6. 柯西根值判别法(1) 1 ( 包括 = )时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 说明 :但级数收敛 ;级数发散 .解例10判别的敛散性. ( x 0, a 0 为常数) 记解即当 x a 时,当 0 1 (包括 = ) 时, 级数发散.(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.定理定理(达朗贝尔判别法)
7、解由 P 级数的敛散性：即原级数绝对收敛.判别级数的敛散性.例14记解判别的敛散性, 其中, x 1为常数.例15当 | x | 1 时, = 1, 此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但 | x | 1 时,原级数发散.级数是否绝对收敛?解由调和级数的发散性可知,故发散.例16但原级数是一个交错级数, 且满足：故原级数是条件收敛, 不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知, 该交错级数收敛.(2) 绝对收敛级数的性质性质1. 任意交换绝对收敛级数中各项的位置, 其敛散性不变, 其和也不变.性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数, 且其和等于原来两个级数的和之积.(3) 任意项级数敛散性的一个判别法(狄利克雷判别法)定理定理其中, M 0 为与 n 无关的常数, 单调递减趋于零部分和有界判别级数的敛散性, 其中, x 2k , kZ .解单调递减趋于零例17又而 x 2k , kZ , 于是且故由狄利克雷判别法,( x 2k, kZ ) 收敛.
