《特征函数讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特征函数讲解（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、定义二、性质三、逆转公式与唯一性定理第4.5节 特征函数四、分布函数的再生性五、多元特征函数1. 问题的引出 一、定义随机变量的数字特征只反映了概率分布的某些 侧面，一般情况下，无法仅由数字特征确定分布函 数，因此需要引进随机变量的另一个指标，该指标 是可以反映随机变量的本质特征，可以唯一确定随 机变量的分布函数，该指标就是特征函数.2. 定义定义 4.5.1 如果与都是概率空间 (,F,P)上 的实值随机变量，则称=+i的复随机变量.复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()复随机变量函数的数学期望，设=g(),由此可以引出：为的特征函数(characteristic func
2、tion)3. 离散情形与连续情形下的特征函数设连续型随机变量的密度函数为p(x),则其特征函 数为同时我们注意到，连续型随机变量的特征函数f(t) 是密度函数p(x)的傅立叶变换.4. 常见分布的特征函数【退化分布】【二项分布】【泊松分布】【分布】 G(,r)二、性质(1) 性质1(2) 性质2 特征函数在(-,)上一致连续.证明证明由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意 小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小. (3) 性质3证明：此性质为特征函数的非负定性.(4) 性质4 两个相互独立的随机变量之和的特征函数 等于它们的特征函数之积推广应用 独立随机变量和的分布函数可以用褶积的
3、方 法去求解，但相当复杂，如果用特征函数去求，就相对 容易。 (5) 性质5这是因为令t=0即可证明性质5. 关于广义积分的求导，这是因为应用可以利用特征函数得到随机变量的各阶矩由上述性质可知，特征函数f(t)的泰勒展开式为：(6) 性质6这是因为例1(p227例5）试求正态分布的特征函数 . 解 先求标准正态分布的特征函数，由于即其他常见的分布的特征函数参见p332附录一.三、逆转公式与唯一性定理特征函数可以由分布函数确定，相应的由特征 函数也可以唯一确定分布函数. 也就是说特征函数是 分布函数的本质特征 .此定理的证明需要下面的引理则证明 由狄利克雷积分可知因而由此可以得到引例的结论定理4
4、.5.1的证明：由于对于0,因而因此 经过交换积分次序我们可以得到由引理可知，控制收敛定理（即积分号与极限符号交换次序）以及 引理的结论可知定理4.5.2 (唯一性定理） 分布函数由其特征函数 唯一确定.证明 应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y沿 着F(x)的连续点趋于- 时，有同时分布函数由其连续点上的值唯一确定证明：利用勒贝格控制收敛定理（即极限符号与积分符合交 换次序）可得四、分布函数的再生性分布函数的再生性，也就是分布函数对随机变量 具有可加性.解：由于因而解：由于因而解：由于因而解：由于因而Back说明：前面讨论了随机变量分布的可加性（再生性），也 就是由随机变量的分布函数可以确定和的分布函数； 相反的，由和的分布函数是否可以确定这两个随机变 量的分布函数呢？现在已经可以证明对于正态分布以 及泊松分布而言，这个结论是成立的，也就是两个独 立的随机变量和的分布是正态分布或泊松分布，则这 两个随机变量也都服从正态分布或泊松分布.五、多元特征函数1、多元特征函数的定义2、多元特征函数的性质(1) 性质1(2) 性质2(3) 性质3(4) 性质4(5) 性质5(6) 性质6附录一（p332) 常见分布表表中第五列给出了常见分布函数的特征函数.作 业习题四(p245) 48、50、51、52
