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1、第五章 控制系统的频率法分析Date1n频率特性的基本概念n频率特性的对数坐标图n频率特性的极坐标图n奈魁斯特稳定判据n稳定裕度n闭环系统的性能分析本章主要内容本章主要内容 Date2第一节 频率特性的基本概念Date3考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示 了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便
2、又 有效的工具。Date4一、频率特性的定义：系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅 、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和 c(t)，系统的传递函数为G(s)。式中， 为极点。若：则：Date5拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时：式中， 分别为：Date6而式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入 不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍， 相位移动了 。 和 都是频率的函数
3、。Date7定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是 的函数。 称为频率特性。这里 和 分别称为系统的实频特性和虚频特性。 还可将 写成复数形式，即 Date8由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。频率特性与传递函数的关系为：幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列 关系：Date9结论：当传递函数中的复变量s用 代
4、替时，传递函数就转变 为频率特性。反之亦然。到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下 几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们 之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数Date10从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态 情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学 关系。是频率域中的数学模型。Date11例子：设传递函数为：微分方程为：频率特性为：其余略。Date12频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得， 而不必推导系统的传递函数。
5、事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常 用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递 函数模型。此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它 所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制 系统的分析和设计中有非常重要的作用。Date13频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得 出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应 cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从 理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律 性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性的概念， 将
6、频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态 分量与输入的复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实 验方法量测到其频率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。Date14工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的 实部 为直角坐标横坐标，以其虚部 为纵坐标，以 为参变量的 幅值与相位的图解表示法。2对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以 为横坐标，对数分度，分别以 和 作纵坐 标的一种图示法。3对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相 位 为横坐标，以 为纵坐标，以 为参变 量的一种图示法。二、频率特性的表示方法：Date15小结q频率特性的定义q频率特性与传递函数之间的关系q各种数学模型之间的关系Date16
