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1、 abbO一.复习定义,奠定基础注意:异面直线所成角的范围是直线a、b是异面直线,经过空间任意一点 O ,分别 引直线aa , b b。我们把直线a和b所成的锐角( 或直角)叫做异面直线a和b所成的角. (0, a预备知识角的知识正弦定理a=2RsinA a=2RsinA SABC=bc sinA余弦定理ABCbc acosA=ABCbca求角的步骤:1. 确定角2. 求角求异面直线所成角的步骤有哪些 ?一,判断 1不存在与两条异面直线都平行的直线 ( ) 2与两条异面直线分别平行的两条直线仍然 是异面直线 ( ) 3与两条异面直线分别都垂直的两条直线仍 然是异面直线( ) 4若a、b是异面直
2、线,b、c是异面直线,则 a、c是异面直线( )二,填空直线a直线b,直线ca,则b、c的位 置关系是 2垂直于同一条直线的两条直线的位置关系 是 3如果两条异面直线所成的角是,那么的 取值范围是三,解答题 1在正方体ABCDA1B1C1D1中,求A1C1和 A1D所成的角ABCDA1B1C1D1ADCBFE例1、在三棱锥A- BCD中AD=BC=2a,E ,F分别是AB,CD的 中点EF= ,求AD 和BC所成的角MEMF=120AD和BC所成的角为60切记:别忘了角的范围!PADCBMO例2、如图图,四棱锥锥P-ABCD中,底面是正方形, 中心为为O,且底面边长边长 和侧侧棱相等,M是PC
3、中点 ,求MO与AB所成的角。N例例2 2:长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=AA1=2 cm, AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 。取BB1的中点M,连O1M,则O1MD1B,如图,连B1D1与A1C1 交于O1,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角(或其补角)O1MDB1A1D1C1ACB解 :为什么 ?于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角(或其补角),例例2 2:长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=AA1=2 cm, AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 。取BB1的中点M,连O1M,则O1MD1B,如图,连B
4、1D1与A1C1 交于O1,解 :为什么 ?O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳 :平移法连A1M,在A1O1M中即根据定义,以“运动”的观点,用“平移 转化”的方法,使之成为相交直线所成的角 。解法二:方法归纳 :补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体, 如正方体、长方体等,其目的在于易于发 现两条异面直线的关系。 在A1C1E中,由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为如图,补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E,C1E,则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角),F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F
5、 ,(二)、数学思想、方法、步骤总结:解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化,即把空间的角转化为平面的角,进而 转化为三角形的内角,然后通过解三角形求得。2.方法:3.步骤:求异面直线所成的角:作(找) 证 求1.数学思想:平移 构造可解三角形正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则 OD1与A1C1所成的角的度数为A1D1C1B1ABCD O练习1900在正四面体S-ABC中,SABC, E, F分别为SC、AB 的 中点,那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( )CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2BSABEFCDG练习2
6、( 解法二)SACBEFSABEFC练习2 (解法三 )练习3:如图,P为ABC所在平面外一点, PCAB,PC=AB=2,E、F分别为PA和BC的中点 。 (1)求证:EF与PC为异面直线; (2)求EF与PC所成的角; (3)求线段EF的长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾练习3:如图,P为ABC所在平面外一点, PCAB,PC=AB=2,E、F分别为PA和BC的中点 。 (1)求证:EF与PC为异面直线; (2)求EF与PC所成的角; (3)求线段EF的长。ABCPEF为EF与PC所成的角或其补角EF与
7、PC所成的角为练习3:如图,P为ABC所在平面外一点, PCAB,PC=AB=2,E、F分别为PA和BC的中点 。 (1)求证:EF与PC为异面直线; (2)求EF与PC所成的角; (3)求线段EF的长。ABCPEF拓展题、如图,a、b为异面直线,直线a上的 线段AB=6cm,直线b上的线段CD=10cm, E、 F分别为AD、BC的中点,且EF=7cm,求异面 直线a与b所成的角的度数ABCDEF定角一般方法有定角一般方法有 :(1)平移法(常用方法)小结: 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角, 体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时,要注意角的 范围:(1) 当 cos 0 时,所成角为 (2) 当 cos 0 时,所成角为 (3) 当 cos = 0 时,所成角为 3、当异面直线垂直时,还可应用线面垂直的有 关知识 解决。90o(2)补形法化归的一般步骤是 :定角求角说明:异面直线所成角的范围是(0, , 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角 形中的角,常用余弦定理求其大小,当余弦 值为负值时,其对应角为钝角,这不符合两 条异面直线所成角的定义,故其补角为所求 的角,这一点要注意。 n 正四面体ABCD中,E、F分别是AD 、BC的中点,求异面直线AF、CE所成 角的余弦值.ABCDEF