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1、 abbO一.复习定义，奠定基础注意：异面直线所成角的范围是直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线aa , b b。我们把直线a和b所成的锐角( 或直角)叫做异面直线a和b所成的角. （0， a预备知识角的知识正弦定理a=2RsinA a=2RsinA SABC=bc sinA余弦定理ABCbc acosA=ABCbca求角的步骤：1. 确定角2. 求角求异面直线所成角的步骤有哪些 ？一，判断 1不存在与两条异面直线都平行的直线 （ ） 2与两条异面直线分别平行的两条直线仍然 是异面直线 （ ） 3与两条异面直线分别都垂直的两条直线仍 然是异面直线（ ） 4若a、b是异面直
2、线，b、c是异面直线，则 a、c是异面直线（ ）二，填空直线a直线b，直线ca，则b、c的位 置关系是 2垂直于同一条直线的两条直线的位置关系 是 3如果两条异面直线所成的角是，那么的 取值范围是三，解答题 1在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1C1和 A1D所成的角ABCDA1B1C1D1ADCBFE例1、在三棱锥A- BCD中AD=BC=2a，E ，F分别是AB，CD的 中点EF= ，求AD 和BC所成的角MEMF=120AD和BC所成的角为60切记:别忘了角的范围!PADCBMO例2、如图图，四棱锥锥P-ABCD中，底面是正方形， 中心为为O，且底面边长边长 和侧侧棱相等，M是PC
3、中点 ，求MO与AB所成的角。N例例2 2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解 ：为什么 ？于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），例例2 2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B
4、1D1与A1C1 交于O1，解 ：为什么 ？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳 ：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以“运动”的观点，用“平移 转化”的方法，使之成为相交直线所成的角 。解法二：方法归纳 ：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体， 如正方体、长方体等，其目的在于易于发 现两条异面直线的关系。 在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F
5、 ，(二)、数学思想、方法、步骤总结：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：求异面直线所成的角：作（找） 证 求1.数学思想：平移 构造可解三角形正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则 OD1与A1C1所成的角的度数为A1D1C1B1ABCD O练习1900在正四面体S-ABC中，SABC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2BSABEFCDG练习2
6、（ 解法二）SACBEFSABEFC练习2 （解法三 ）练习3：如图，P为ABC所在平面外一点， PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点 。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾练习3：如图，P为ABC所在平面外一点， PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点 。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。ABCPEF为EF与PC所成的角或其补角EF与
7、PC所成的角为练习3：如图，P为ABC所在平面外一点， PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点 。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。ABCPEF拓展题、如图，a、b为异面直线，直线a上的 线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、 F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面 直线a与b所成的角的度数ABCDEF定角一般方法有定角一般方法有 ：（1）平移法（常用方法）小结： 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角， 体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：（1） 当 cos 0 时，所成角为 （2） 当 cos 0 时，所成角为 （3） 当 cos = 0 时，所成角为 3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。90o（2）补形法化归的一般步骤是 ：定角求角说明：异面直线所成角的范围是（0， ， 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角 形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦 值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两 条异面直线所成角的定义，故其补角为所求 的角，这一点要注意。 n 正四面体ABCD中,E、F分别是AD 、BC的中点,求异面直线AF、CE所成 角的余弦值.ABCDEF
