数学思想方法及其教学设计

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1、数学思想方法及其教学设计邵光华宁波大学教师教育学院国培讲座一、数学思想方法释义 二 、数学思想方法的教育意义 三、数学家思想方法简介 四、突出数学思想方法的教学设计 五、数学教育前沿展望 一、数学思想方法释义 数学思想 数学方法 数学思想方法1 数学思想的含义现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维 活动而产生的结果 辞海称思想为理性认识 中国大百科全书认为，思想是相对于感性认识的理性认识结 果可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括 的认识由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽 象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼 上升的数学

2、观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本 质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体 系相当完整的数学成果”，如微积分思想、概率统计思想等，又包 括对数学的起源与发展、数学的本质和特征、数学内部各分支各体 系之间对立统一关系、数学与现实世界的关系及地位作用的认识， 如常量与变量之间的辩证关系的认识等 2 数学方法的含义 方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式 中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作 性、模式性、指向性等特征 方法因问题而生，因能解决问题而存数学方法是指在数学地提出问题、

3、研究问题和解决问题（包括数 学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径 数学方法的层层次 第一层次是基本和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分 方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等； 第二层次是与一般科学方法相应的数学方法，如类比联想、分析 综合、归纳演绎等； 第三层次是数学中的特有方法，如数学表示、数学等价、数形转 换等； 第四层次是中学数学中的解题方法和技巧将数学方法分为宏观的和微观的宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷 小方法，公理化方法，结构方法，实验方法微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下 三类：(1)逻辑学中的方法例如分析法(

4、包括逆证法)、综合法、反证 法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等这些方法既要遵从逻辑学 中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色(2)数学中的一般方法例如建模法、消元法、降次法、代入法 、图象法(也称坐标法代数中常称图象法等这些方法极为重要 ，应用也很广泛(3)数学中的特殊方法例如配方法、待定系数法、加减法、公 式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元 素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法以及平行移动法、翻折法 等这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之 3数学思想与方法的关系数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性 和具体性； 数

5、学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的 内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相 当于建筑施工的手段数学思想和数学方法又具有相对性同一个数学成就，当 人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法 ；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思 想 数学思想方法二 、数学思想方法的教育意义数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整 个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起 来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）数学 的各种方法是数学最重要

6、的部分弗利德曼读一段文字，有一个段落大意，读一篇课文，有一个中心思想，同 样，一门学科也有一个大意和中心思想，如解析几何的中心思想， 这种思想在意义上如同课文的中心思想，是建立在这门学科内容之 上的，蕴涵在内容之中，经人们由内容精练概括出来的，而高于内 容的东西数学思想的一个层面就是这种思想 1米山国藏数学的精神思想和方法无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作 者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只 是第二位的米山国藏三、数学家思想方法简介数学中的精神 将数学处理问题的一般思维活动称为数学的精神，概括了 七种主要的数学精神活动： （1）应用化的精神， （2）扩张化、一般化

7、的精神， （3）组织化、系统化的精神， （4）致力于发明、发现的精神， （5）统一建设的精神， （6）严密化的精神， （7）思想经济化的精神 重要的数学思想（1）“数学的本质在于思考充分自由”的思想， （2）极限的思想， （3）构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的思想 （4）集合与群的思想， （5）把有限长看作无限长的思想， （6）把曲线看作直线的思想， （7）使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思 想， （8）二维空间、四维空间、高维空间的思想， （9）超限数的思想， （10）数学的神秘性与数学美的思想波利亚的数学解题与猜想发现思想完善的思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路

8、G波利亚 波利亚认为，中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人 思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思 考的一种手段和途径解题意味着要找到克服困难的方法 , 找到绕过障碍的道路, 达到不能直接达到的目的正如 不可能找到一把能打开一切大门的神奇的钥匙一样，我们 也不可能找到能解决一切问题的方法只有通过模仿与实 践才能学会解题正如你想学会游泳你就得跳到水中去， 你想成为解题能手, 那你就得去解题良好的思维习惯不 可能靠从外部输入获得, 只有靠练习才能获得尽管如此，波利亚还是通过认真分析人们解决数学问 题的思维过程,总结出了具有一般指导意义的解题思维程 序表，这就是著名的“怎样解题表”弄清问题

9、 拟定计划 实现计划 回顾 数学猜想与合情推理数学的发明、发现离不开猜想所以，波利亚极力主张，“在 数学的教学中必须有猜想的地位，教学必须为发明做准备，或至少 给一点发明的尝试”数学猜想一般来自与严密的论证推理完全不 同的一种推理方法合情推理 合情推理是波利亚“启发法”(heuristic，即“有助于发现的 ”)中的一个推理模式它是指观察、归纳、类比、实验、联想、 猜测、矫正与调控等方法波利亚很早就注意到“数学有两个侧面 ，用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在 创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”因此，他明确提出有 两种推理：论证推理与合情推理论证推理用来确定数学知识，合 情

10、推理用来为猜想提供依据波利亚这一思想实质上告诉了我们， 数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义 及严格的证明，而且还有许许多多其它方面：推广、归纳、类推以 及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念，等等 论证推理有三段论推理模式等，波利亚通过具体例子 的分析，在与论证推理模式的对比思考中，也提炼出了一 些合情推理模式 论证推理模式 合情推理模式三段论法的否定式 基本归纳模式A蕴含B B真又怎样？A蕴含BB假B真A假A更可靠基本归纳模式： 意义：你正从事研究某个猜想A，不知道A是真还是假你看出了A 的某个结论B，即A蕴含B当你研究A觉得腻了的时候，就想转而研 究B该模式表

11、示：一个结论B的证实使猜想A变得更可靠 基本归纳模式： A蕴含Bn+1 Bn+1与前面已证实的A的结论B1，B2，Bn相比是十分不同的A更可靠Bn+1为真意义：证实新结论Bn+1意义的大小随新结论与前面已证实的结论B1， B2，Bn间的差异大小而定 类比推理模式： A类似于BB真A更可靠意义：另一个和A类似的猜想B证明为真，使猜想A变得更可信 启发模式： B蕴含AB假A较不可靠意义：在作为猜想A的依据B被 推翻时，对A的信任程度只能减 小 A与B不相容B假A更可靠审定相抵触的猜想模式： 意义：当一个不相容的对抗猜想 被推翻时，我们对原猜想的信任 只能增加波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼

12、出四个常用的解题 模式可供仿照的楷模 双轨轨迹模式 （1）把问题归结为要确定一个“点” （2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个“ 轨迹”这两个“轨迹”的交集，就是我们要求的“点”笛卡儿模式 （1）把问题归结为去确定若干个未知的量 （2）设想问题已解出来了，列出已知量和未知量间根据条件必须 成立的一切关系式 （3）把某些关系式转化为方程，得出一个方程组 （4）将方程组通过消元化归成一个方程递归模式 （1）设法将要求的量归结为依次排列起来的某序列的一个 项 （2）确定这序列的第一项或前面几项 （3）找出递推关系式，将序列的一般项与它前面的那些项 联系起来 这样，我们就可递推地把所

13、有的项都找出来叠加模式（1）先处理一、两种特殊情形我们把它称之为导引特款（2）利用导引特款的叠加去得出一般问题的解教师十诫： 第一，对自己的科目要有兴趣 第二，熟知自己的科目 第三，要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现 第四，要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们 之中 第五，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”，思维的方式，有条不 紊的工作习惯 第六，要让学生学习猜测 第七，要让学生学习证明 第八，要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征即设法去揭示出隐 藏在眼前具体情形中的一般模式 第九，不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜

14、尽量 让他们自己去找出来 第十，启发问题，而不要填鸭式地硬塞给学生接受 四、突出数学思想方法的教学设计数学教学已由双基向四基转化：基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验数学教学必须重视数学思想方法的设计明确基本数学思想方法体系 全域性数学思想 局域性数学思想 一般性数学方法 特殊性数学方法全域性数学思想 第一节 公理化思想 第二节 算法化思想 第三节 符号化思想 第四节 形式化思想 第五节 集合与对应思想 第六节 数学辨证思想局域性数学思想第一节 数与运算思想第二节 图形与几何思想第三节 方程与函数思想第四节 无穷与极限思想第五节 微分与积分思想第六节 概率与统计思想一般性数学方法第一

15、节 推理证明方法数学说理论证的一般方法第二节 合情推理方法数学猜想发现的一般方法第三节 数学抽象方法数学化活动的一般方法第四节 数学化归方法数学解题的一般方法第五节 数学模型方法数学应用的一般方法第六节 数形结合方法数学转化的基本方法特殊性数学方法第一节 分类讨论方法第二节 逐次逼近法第三节 反证法第四节 数学归纳法第五节 构造性方法第六节 反例法设计思想 明确各种思想方法的实质 教学设计中系统渗透这些思想方法 通过概念原理教学让学生明确各种重要 数学思想 通过解题教学让学生掌握各种数学方法数与运算思想 什么是数？数的思想萌芽是给具有数量的东西 的一种“确定性”表征，使得相同事物的不同的 数量之间可以比较和运算。“数”是脱离了事物 的“质”，而仅是“量”的表征，这使得不同事物 之间的数似乎也可以运算。 数的发展是随着数学的发展而发展的，不断扩 充。 数构成数学的基本部分，是数学的基本语言。 运算是集合与集合之间联系的表现，仅有数而 没有运算，事物将是孤立的，不能“综合”看待 。 没有运算，集合只能是孤立元素的堆积，有了 运算，集合才能形成结构体系 没有运算向量只能作为“路标”，有了运算， 向量才能表示夹角、长度，才能作为联系代数 、几何、三角的桥梁 没有运算，矩阵只是一张表，有了运算，矩阵 就是一种线性变换 图形与几何思想 一般来说，图形本身不是客观存在，是没有具 体