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1、 要点要点 建立平面问题的基本方程和方程的求解方法包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论一、 平面问题 平面应力问题、平面应变问题 二、 平衡微分方程三、 斜面上的应力 四、 力边界条件 五、 几何方程 刚体位移、斜方向的正应变 六、 物理方程 七、 边界分类及边界条件 八、 圣维南原理 九、 弹性力学问题的求解方法 十、 按位移求解平面问题 十一、按应力求解平面问题 相容方程 十二、常体力情况下的简化 相容方程 十三、应力函数 相容方程 逆解法与半逆解法主要内容主要内容一、平面问题 平面应力问题
2、、平面应变问题1. 平面应力问题(1)几何特征：等厚薄板yzxytba特殊的几何形状 平面应力问题空间问题 平面问题特殊的受力情况 平面应变问题(2)受力特征： 板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的体力平行于板面作用，沿 z 方向不变化。(3)应力特征：由于板面上不受力，有：独立的应力分量只有三个应力分量，且仅为 x、y 的函数，与z无关。即符合以上三条的弹性力学问题成为平面应力问题其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。2. 平面应变问题(1)几何特征：无限长、等截面棱柱体水坝 (2)外力特征：外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。(3)应变、应
3、力特征：任一横截面都是对称面，则有，w=0, 即应力分量有 ，其中 不独立，可以用 表示。独立的应力分量仅有 ，仅为x,y的函数，与z无关符合以上三条的弹性力学问题成为平面应变问题其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。PBACDxyOyxxytt=剪应力互等为体力分量其中，二、平衡微分方程（1）斜面上应力在坐标方向的分量斜面外法线N 在坐标中的方向余弦：l,m （2-4）xyOdx dydsPABPN 外法线 三、斜面上的应力（2）斜面上的正应力与剪应力xyOdx dydsPABPN根据合矢量投影定理 正应力 剪应力（3）主应力与主应力方向： 参考材料力学自习xyOdx
4、dydsPAB N 外法线 类似于斜面上应力分量分析过程 平面问题的应力边界条件为面力分量其中，四、力边界条件1. 几何方程一点的变形：线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOP ABvu变形前变形后PABu v注：略去了二阶以上高阶无穷小量。五、几何方程 刚体位移、斜方向的应变xyOP ABuvPA的正应变 ：PB的正应变 ：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化几何方程2. 刚体位移 ： 自习3. 斜方向的正应变问题：已知 ，求任意方向的线 应变r 和线段夹角的变化。设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为 （x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：于是PN
5、在坐标轴上的投影为：xyOP(x,y)NP1N1vuN点位移：变形后的P1N1在坐标方向的投影：设PN变形后的长度 P1N1=dr， PN 方向的应变为r，由应变的定义：两边同除以 (dr)2，得略去二阶小量后简化后应用：电测时 应变花物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。 简单胡克定律+泊松比效应+基本假设=广义胡克定律 ：其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收 缩系数，又称泊松比。六、物理方程1、平面应力问题的物理方程注 ：(1) (2) 物理方程的另一形式由于平面应力问题中2、平面应变问题的物理方程在平面应变问题中由第三式，得注：(2)平面应变问题 物理方程的另一形式
6、(1) 平面应变问题中，但两类平面问题物理方程的转换：自习边界条件 ：建立边界上的物理（几何）量与内部物理（几何） 量间的关系是力学计算模型建立的重要环节。 xyO q f边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界三类边界1、位移边界条件位移分量已知的边界 位移边界用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位 移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：七、边界分类及边界条件2、应力边界条件给定面力分量边界 应力边界由前面斜面的应力分析，得其中，l、m 为边界外法线方向余弦 ，为面力分量3、混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2) 在同一部分边界上
7、，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。图(a) ：位移边界条件应力边界条件图(b) ：位移边界条件应力边界条件例1、图示水坝，试写出其边界条件 。由应力边界条件公式，有左侧面：右侧面：解、例2、如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(4)(3)注： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：例3、图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明：在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。由应力边界条件公式AB 边界：（1 ）AC 边界：（2 ）A 点同处于 AB 和 AC 的边界，同时满足式（1）和（2），解得 A 点处无
8、应力作用PPP问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个 基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1. 静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。八、圣维南原理2.圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力 等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响 可忽略不计。PPP/2P/2P3.圣维南原理的应用
9、（1）对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替 。 （2）有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项 ：（1）必须满足静力等效条件；（2）只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用 。如 ：AB主要边界P次要边界例4、矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部 受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。解：左侧面 ：代入应力边界条件公式右侧面 ： 代入应力边界条件公式，有上端面 ：为次要边界，可由圣维南原理求解 。 y方向力等效 ：对O点的力矩等效 ：x方向力等效 ：注意 ：必须按正向假设 ！1、按位移求解 位移法 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u 、v
10、 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力 与形变分量。2、按应力求解 力法以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表 示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分 量与位移。九、弹性力学问题的求解方法1、将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有再代入平衡方程，化简有十、按位移求解平面问题2、将边界条件用位移表示（）位移边界条件 ：（）应力边界条件：（a ）将式（a）代入，得、位移法的优缺点缺点：数学求解困难重重优点：三类边值问题都可解应用：工程中常用此法进行数值计算按应力求解平面问题的未知函数：平衡微分方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定
11、问题。需寻求补充方程，从几何方程、物理方程建立补充方程。十一、按应力求解平面问题 相容方程1.变形协调方程 相容方程将几何方程：作如下运算：显然有 ： 形变协调方程相容方程即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。2. 变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：利用平衡方程将上述化简 ：将上述两边相加：ab将 (b) 代入 (a) ，得 ：将 上式整理得，平面应力情况的用应力表示的相容方程 ：（2）平面应变情形注意：注意：当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即将上式中的泊松比代为： ，可以得到平面应变 情形应力表示的相容方
12、程例5、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1 ） （2 ）（a ）（b ）例5解、（1 ）将式（a）代入平衡方程： 满足将式（a）代入相容方程：式（a）不是一组可能的 应力场。例5解、（2 ）将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。例6、图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料 力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0， 然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程、相容 方程和边界条件？（a）（1）代入平衡微分
13、方程：显然，平衡微分方程满足。式（a）满足相容方程 。（3）再验证是否满足边界条件？ 满足满足近似满足近似满足（2）代入相容方程 ：上、下侧边界：右侧边界 ：左侧边界 ：结论：式（a）为正确解1. 常体力下平面问题的相容方程令 ： 拉普拉斯（Laplace）算子则相容方程可表示为： 平面应力情形 平面应变情形当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即十二、常体力情况下的简化 相容方程2.常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（3）边界条件（4）位移单值条件 对多连通问题而言 。讨论讨论 ：（1 ）Laplace方程，或称调和方程。（2 ）常体力下，方程中不含E、（a ）相同
14、 ，）不同。两种平面问题，计算结果（但（b ）不同材料，具有相同外力和 边界条件时，其计算结果相同 。 光弹性实验原理 。（3 ）用平面应力试验模型，代替平 面应变试验模型，为实验应力分 析提供理论基础。满足： 的函数称为调和函数（解析函数）。3.常体力下体力与面力的变换平衡方程:相容方程:边界条件:令 ：常体力下， 满足的方程：(a)将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c )表明 ：（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解） ；（2）变换后问题的边界面力改变为：结论结论 ：当体力X =常数，Y =常数时，可先求解无体力而面力为：转换问题的解为 ：而原问题的解为
15、：例如：图示深梁在重力作用下的应力分析 。原问题 ：体力 ：边界面力 ：所求应力 ：变换后的新问题：体力 ：边界面力 ：(1)AF , m=1, y = 0:(2) DE, m=-1, y = h:(3) BC，m=-1, y = 2h：所求得的应力 ：原问题的应力原问题的应力xyFABCDEhh(a )p(4) EF，m=0： (5) AB，m=0：xyABCFDEhh(b )ph2ph(5)(4)(3)(2)(1)常体力下体力与面力转换的优点：原 问 题 的 求 解 方 程变 换 后 问 题 的 求 解 方 程常体力问题无体力问题作用 ：(1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。 (2) 实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力 。 注意 ：面力转换公式： 与坐标系的选取有关，因此 ，适当选取坐标系，可使面
