第一章 量子力学基础知识（课堂讲授6学时）1 . 微观粒子的运动特征 2 . 量子力学基本假设3 . 算符、本征方程及其解4 . 势箱中自由粒子的薛定谔方程及其解十九世纪末，经典物理学已经形成一个相当 完善的体系，机械力学方面建立了牛顿三大定律 ，热力学方面有吉布斯理论，电磁学方面用麦克 斯韦方程统一解释电、磁、光等现象，而统计方 面有玻耳兹曼的统计力学当时物理学家很自豪 地说，物理学的问题基本解决了，一般的物理都 可以从以上某一学说获得解释唯独有几个物理 实验还没找到解释的途径，而恰恰是这几个实验 为我们打开了一扇通向微观世界的大门 十九世纪末的物理学电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象 性的运动特征这一特征体现在以下的现象中，而这些现 象均不能用经典物理理论来解释，由此人们提出了量子力 学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础1.1.1黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐 射的物体带有一微孔的空心金属球，非常接近于黑体 ，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射、使射 入的辐射实际上全部被吸收当空腔受热时，空腔壁会 发出辐射，极小部分通过小孔逸出黑体是理想的吸收 体，也是理想的发射体。
第一节.微观粒子的运动特征一个吸收全部入射线的表面称为黑体表面 一个带小孔的空腔可视为黑体表面它几乎完全 吸收入射幅射通过小孔进去的光线碰到内表面 时部分吸收，部分漫反射，反射光线再次被部分 吸收和部分漫反射……，只有很小部分入射光有 机会再从小孔中出来如图1－1所示图1－2表 示在四种不同 的温度下，黑 体单位面积单 位波长间隔上 发射的功率曲 线十九世纪 末，科学家们 对黑体辐射实 验进行了仔细 测量，发现辐 射强度对腔壁 温度 T的依赖 关系 为了解释黑体辐射现象，他提出粒子能量永远是 h 的整数 倍， = n h ，其中是辐射频率，h 为新的物理常数，后人称为普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)，这一创造 性的工作使他成为量子理论的奠基者，在物理学发展史上具 有划时代的意义他第一次提出辐射能量的不连续性，著名 科学家爱因斯坦接受并补充了这一理论，以此发展自己的相 对论，波尔也曾用这一理论解释原子结构量子假说使普朗 克获得1918年诺贝尔物理奖黑体是理想的吸收体，也是理想的发射体当把几种 物体加热到同一温度，黑体放出的能量最多由图中不同 温度的曲线可见，随温度增加，Eν增大，且其极大值向高 频移动。
为了对以上现象进行合理解释，1900年Plank提 出了黑体辐射的能量与频率之间的公式:PlankThe Nobel Prize in Physics 1918 “for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions“ Max Karl Ernst Ludwig Planck Germany Berlin UniversityBerlin, Germany1858 - 1947 普朗克根据光波的经典图像，波的能量与它的强度成正 比，而与频率无关，因此只要有足够的强度，任何频 率的光都能产生光电效应，而电子的动能将随光强的 增加而增加，与光的频率无关，这些经典物理学的推 测与实验事实不符光电效应是光照在金属表面上，金属发射出电子 的现象 1.只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频 率）时，金属才能发射光电子，不同金属的临阈频率 不同 2.随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响 光电子的动能 3.增加光的频率，光电子的动能也随之增加1.1.2图1-3 光电效应示意图 (光源打开后,电流表 指针偏转)(2).光子不但有能量，还有质量(m)，但光子的静 止质量为零。
按相对论的质能联系定律,ε=mc2,光子 的质量为 m = h／c2所以不同频率的光子有不同的质量1905年，Einstein提出光子学说，圆满地解释 了光电效应光子学说的内容如下：(1).光是一束光子流，每一种频率的光的能量都 有一个最小单位，称为光子，光子的能量与光子的 频率成正比，即式中h为Planck常数，ν为光子的频率将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个 电子受到一个光子撞击时，产生光电效应，光子消 失，并把它的能量h转移给电子电子吸收的能量 ，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则 表现为光电子的动能3).光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ光子有动量在光压实验中得到了证实4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即 光子密度Ek = h－ W当h > W时，从金属中发射的电子具有一定 的动能，它随 的增加而增加，与光强无关 式中W是电子逸出金属所需要的最低能量，称为脱 出功，它等于h0；Ek是光电子的动能，它等于 mv2／2 ，上式能解释全部实验观测结果：当h n1, n1、n2为正整数该公式可推广到氢原子光谱 的其它谱系21（3）各态能量一定，角动量也一定( M=nh/2π ) 并且是量子化的，大小为 h/2π 的整数倍。
1）原子中有一些确定能量的稳定态，原子处于定态不辐射能量 （2）原子从一定态过渡到另一定态，才发射或吸收能量 为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论， 爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著 名的玻尔理论：+e-e r库仑引力 离心力 角动量总能量动能势能Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，对碱金属原子也近似适用. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度后来，Bohr模型又被.Sommerfeld等人进一步改进，增加了椭圆轨道和轨道平面取向量子化(即空间量子化). 这些改进并没有从根本上解决问题, 促使更多物理学家认识到, 必须对物理学进行一场深刻变革. 法国物理学家德布罗意(L.V.de Broglie)勇敢地迈出一大步. 1924年, 他提出了物质波可能存在的主要论点.Bohr玻尔他获得了 1922年的 诺贝尔物 理学奖Bohr(older)玻尔Einstein为了解释光电效应提出了光子说 ，即光子是具有波粒二象性的微粒，这一观点在 科学界引起很大震动1924年，年轻的法国物理 学家德布罗意（de Broglie）从这种思想出发, 提出了实物微粒也有波性,他认为：“在光学上, 比起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究 方法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？ 是不是把粒子的图像想得太多，而过于忽略了波 的图像？” --- 德布罗意物质波 1.1.3他提出实物微粒也有波性，即德布罗意波。
E = h v , p = h / λ1927年，戴维逊（Davisson）与革末（ Germer）利用单晶体电子衍射实验，汤姆逊（ Thomson）利用多晶体电子衍射实验证实了德布 罗意的假设光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒 子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都 有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性 质，称为波粒二象性戴维逊(Davisson)等估算了电子的运动速度 ，若将电子加压到1000V,电子波长应为几十个 pm，这样波长一般光栅无法检验出它的波动性 他们联想到这一尺寸恰是晶体中原子间距， 所以选择了金属的单晶为衍射光栅将电子束加速到一定速度 去撞击金属Ni的单晶，观察到 完全类似Ｘ射线的衍射图象， 证实了电子确实具有波动性 图1-5为电子射线通过 CsI薄膜 时的衍射图象，一系列的同心 圆称为衍射环纹该实验首次 证实了德布罗意物质波的存在 后来采用中子、质子、氢原 子等各种粒子流，都观察到了 衍射现象证明了不仅光子具 有波粒二象性，微观世界里的 所有微粒都有具有波粒二象性 ，波粒二象性是微观粒子的一 种基本属性 微观粒子因为没有明确的外形和确定的轨道，我 们得不到一个粒子一个粒子的衍射图象，我们只能用 大量的微粒流做衍射实验。
实验开始时，只能观察到 照象底片上一个个点，未形成衍射图象，待到足够长 时间，通过粒子数目足够多时，照片才能显出衍射图 象，显示出波动性来可见微观粒子的波动性是一种 统计行为微粒的物质波与宏观的机械波（水波，声 波）不同，机械波是介质质点的振动产生的；与电磁 波也不同，电磁波是电场与磁场的振动在空间的传播 微粒物质波，能反映微粒出现几率，故也称为几率 波空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现在此处的在此处的几率几率成正比成正比, ,此即物质波的此即物质波的统计解释统计解释. .德布罗意（Louis Victor de Broglie ，1892-1987）法 国物理学家德布罗 意提出的物质波假设 为人类研究微观领 域内物体运动的基本 规律指明了方向为 了表彰德布罗意，他 被授予1929年诺贝 尔物理学奖具有波动性的粒子不能同时有具有波动性的粒子不能同时有精确坐标和动量精确坐标和动量. .当粒子的某个坐标被确定得愈精确当粒子的某个坐标被确定得愈精确, ,则其相应的则其相应的动量则愈不精确动量则愈不精确; ;反之亦然反之亦然. .但是，其位置偏差但是，其位置偏差( (△△x )x )和动量偏差和动量偏差( (△△ p ) p )的积恒定的积恒定. . 即有以下关即有以下关系系: :通过电子的单缝衍射可以说明这种通过电子的单缝衍射可以说明这种““不确定不确定””的确存的确存 在。
在 1.1.4 不确定度关系---测不准原理△△x = bx = b在同一瞬时，由于衍射的缘故，电子动量的大小虽 未变化，但动量的方向有了改变由图可以看到， 如果只考虑一级(即 )衍射图样，则电子绝大多 数落在一级衍射角范围内，电子动量沿 轴方向 分量的不确定范围为由德布罗意公式和单缝衍射公式和 上式可写为又因为△△x = bx = b，， 因此因此 yeDOxPQAOACp psi nOP－AP＝OC＝/2宏观世界与微观世界的力学量之间有很大区别， 前者在取值上没有限制，变化是连续的，而微观世界 的力学量变化是量子化的，变化是不连续的，在不同 状态去测定微观粒子，可能得到不同的结果，对于能 得到确定值的状态称为“本征态”，而有些状态只能 测到一些不同的值（称为平均值），称为“非本征态 ”例如，当电子处在坐标的本征态时，测定坐标有 确定值，而测定其它一些物理量如动量，就得不到确 定值，相反若电子处在动量的本征态时，动量可以测 到准确值，坐标就测不到确定值，而是平均值海森 伯（Heisenberg）称两个物理量的这种关系为“测不 准”关系 海森伯(W. K. Heisenberg， 1901-1976)德国理论物理学家， 他于1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，而于26岁时提 出的不确定关系则与物质波的概 率解释一起，奠定了量子力学的 基础，为此，他于1932年获诺贝 尔物理学奖。
海森伯所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的可见子 弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观 物体来说没有实际意义 例1.一颗质量为10g 的子弹，具有200m·s-1的速率， 若其动量的不确定范围为动量的0.01%(这在宏观范围 已十分精确)，则该子弹位置的不确定量范围为多大? 解: 子弹的动量动量的不确定范围由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小 在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大 小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和 动量已没有实际意义 例2 . 一电子具有200 的速率，动量的不确定范 围为动量的0.01%(这已经足够精确了)，则该电子的位 置不确定范围有多大? 解。