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1、概率论与数理统计 第4讲1习题 用步枪射击目标5次, 设Ai为“第i次击中 目标“(i=1,2,3,4,5), B为“5次中击中次数大于 2“, 用文字叙述下列事件:解 (1) 5次射击至少一次击中目标 (2) 5次射击没有一次击中目标 (3) 5次射击中击中次数不大于22记住事件的加与积的运算满足分配律 即任给事件A,B,C (A+B)C=AC+BC, 如果AB, 则A+B=A 而对于任何事件都有AAB, 因此 对任何事件A与B恒有A+AB=A3第4题 用图示法简化各式(A,B,C都相容) (A+B)(B+C) (A+B)(B+C)=A(B+C)+B(B+C) =AB+AC+B+BC=B+A
2、C ABC4(2) (A+B)(A+B)AB5(2) (A+B)(A+B)(A+B)AB6概率的加法法则7例1 100个产品中有60个一等品, 30个二等品, 10个废品. 规定一,二等品都为合格品, 考虑 这批产品的合格率与一,二等品之间的关系解 设事件A,B分别表示产品为一,二等品. 则 A与B不相容, AB=, A+B为合格品, 则8例2 200个产品中有6个废品, 任取3个, 求最 多只有一个废品的概率P(B)解 设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废 品, 则B=A0+A1, 且A0与A1与互不相容.则有利于B 的基本事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1 与m2之和,
3、 因此9例 对光顾一个超市的顾客的购买情况进行 统计, 总共观察了1000名顾客, 其中花了400 元以上的有50名, 花的钱在100元到400元的 有500名, 试估计花钱超过100元的概率 解 假设A=花钱超过100元, B=花钱在100 元到400元之间, C=花钱超过400元, 利用 频率来估计概率, 则B,C互不相容, A=B+C10加法法则 两个互不相容(互斥)事件之和的概率等于它 们的概率的和. 即当AB=时, P(A+B)=P(A)+P(B) 实际上, 只要P(AB)=0, 上式就成立. 加法法则的一个形象解释: 将一个边长为1的方形看作是整个样本空间 , 而其中的每一区域代表
4、一事件, 这些区域 的面积代表此事件发生的概率, 则可以看出 加法法则11如下图所示: 如果区域A与区域B不重合, 则它们的总的 面积等于各个区域的面积之和11 AB12如果n个事件A1,A2,An互不相容, 则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) 这个性质称为概率的有限可加性, 但在建立 概率概念时需要规定概率应具有完全可加 性(又称可列可加性), 即如果可列个事件 A1,A2,两两互不相容, 则有A1A2A3A413若n个事件A1,A2,An构成一完备事件组, 则 它们的概率的和为1, 即P(A1)+P(A2)+P(An)=1 特别地, 两个对立事件概率之和为1, 即
5、A1A2A3A4AA14例 掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率. 解: 假设A=至少一次正面, 则 A=全是反面, 只包含一个基本事件. 基本事件总数为23=8, 因此经常有一些概率论的较难的题, 直接计算某 事件的概率困难, 因此考虑先求此事件的逆 事件的概率15如果BA, 则P(B-A)=P(B)-P(A) 这是因为, 如果BA, 则必有B=A+(B-A), 而A与B-A互不相容, 因此 P(B)=P(A)+P(B-A)B A16对任意两个事件A,B, 有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 这被称为广义加法法则, 这是因为A+B=A+(B-AB), 而A与B-AB互 斥, 因
6、此P(A+B)=P(A)+P(B-AB), 而因为 BAB 则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)AB17由广义加法法则可以推导出多个事件的和 的概率公式 例如, 考虑任意三个事件之和A+B+C的概率 P(A+B+C), 先将B+C看作一个事件, 得 P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)-PA(B+C) =P(A)+P(B+C)-P(AB+AC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)- -P(AB)-P(AC)+P(ABC)最后得 P(A+B+C)= =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)ABC18例3 产品有一, 二等品及废品3种,
7、若一, 二等 品率分别为0.63及0.35, 求产品的合格率与废 品率. 解 令事件A表示产品为合格品, A1,A2分别表 示一,二等品. 显然A1与A2互不相容, 并且 A=A1+A2, 则 P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =0.63+0.35=0.98P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02 注意此题并非古典概型题.19例4 一个袋内装有大小相同的7个球, 4个是 白球, 3个为黑球. 从中一次抽取3个, 计算至 少有两个是白球的概率. 解 设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球 (i=2,3), 显然A2与A3互不相容, 且20例5 50个产品中有46个合格品与
8、4个废品, 从 中一次抽取3个, 求其中有废品的概率. 解 设事件A表示取到的3个中有废品, 则事 件A的逆为取到的3个产品中没有废品更好 计算一些, 因此有21在严格的概率论公理化体系中, 把一个随机 事件的概率所应具备的三个基本属性作为 建立概率的数学理论的出发点, 直接规定为 三条公理, 即: (1)对任何事件A, P(A)0; (2)P()=1 (3) 若可列个事件A1,A2,两两不相容, 则而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况22(1998年MBA试题)(A)0.4 (B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9 解：根据狄.摩根定理23(1992年研究生入学考试题)24(1990年研究生入学考试题)由已知得:25请提问26
