流体力学 第三章

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1、第三章 流体动力学基础11 描述流体运动的两种方法 16 伯努利（Bernoulli）方程的应用 18 液体的空化和空蚀现象17 定常流动的动量方程和动量矩方程12 流体运动的一些基本概念14 理想流体的运动微分方程13 流体运动的连续性方程15 理想流体微元流束的伯努力方程Date1流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。Date2第一

2、节 描述流体运动的两种方法连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。 由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如 速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种 不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种 是欧拉（Euler）方法。拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本Date3的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：X=x (a，

3、b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t) (3-1)式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a 、b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点， a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律 。对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得 到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标 号。Date4将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：(3-2) (3-3)Date5同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的 函数，即= （a，b，c

4、，），P=P (a，b，c，)，t=t (a ，b，c，)。欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点 上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即 研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和 时间t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和 密度可表示为： u=u (x，y，z，t)v=v (x，y，z，t) （3-4）w=w (x，y，z，t)式中，u，v，w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量：Date6P=p (x，y，z，t)=（x，y，z，t) (3-5)式（3-4）中，当参数x，y，z不变而改变时间t，则表

5、 示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变 ，而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标 ，另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续 介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据 每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然 产生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位 移的变量，它也是时间t的函数：x= x (t) y= y (t) z= z (t) (3-6)Date7式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量（3-7）现在用欧拉法求流体质点的

6、加速度。由于加速度定义 为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法 则，分别将式（3-4）中三个速度分量对时间取全导数， 并将式（3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量Date8(3-8)用矢量 表示加速度，即 。根据矢量分析的点积公式（3-9）式中 是矢量微分算子。由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点Date9的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式（3-8）中等式右端的第一项 、 、 ；第二部分是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点

7、的变化称为迁移加速 度，即式（3-8）中等式右端的后三项 、 、 等；当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。为了加深对当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速 度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速Date10图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动Date11度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。应该

8、注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可 以采用式(3-9)的形式，即（3-10） 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。称为全导数， 称为当地导数， 称为迁移导数。Date12由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方

9、程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。 Date13【例3-1】 已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a， y=b。求（1 ）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3）质点加速度。【解】 根据（3-2）式得将上式积分，得上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用t=0时，x=a，y=b

10、得c1=-2， c2=-2Date14X=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2（1）将t=3代入上式 得X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8（2）a=2，b=2时x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)Date15【例3-2】 在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其 迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？【解】 根据式（3-7）得由式（3-8）得Date16第二节 流体运动的一些基本概念 在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念 。一、定常流动和非定常流动根据流体的流动参

11、数是否随时间而变化，可将流体的流动分为定常流动和非定常流动，现举例说明如下：如图 3-2所示装置，将阀门A和B的开度调节到使水箱中的水位 保持不变，则水箱和管道中任一点(如1点、2点和3点等) 的流体质点的压强和速度都不随时间而变化，但由于1、2 、3各点所处的空间位置不同，故其压强和速度值也就各Date17图 3-2 流体的出流Date18图 3-2 流体的出流Date19不相同。这时从管道中流出的射流形状也不随时间而变。 这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和速 度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。现将阀门A关小，则流入水箱的水 量小于从阀门B

12、流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐减小 ，射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流 体质点的流动参数(压强和速度等)随时间而变化的流动，称为非定常流动。由上可见，定常流动的流场中，流体质 点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标x、y、 z的函数，而与时间t无关，用表示任一流动参数（即 可表示u，v，w，p，等），则= (x，y，z) (3-11)Date20由于是定常流动，故其流动参数对时间的偏导数等于零，即（3-12）因此，定常流动时流体加速度可简化成（3-13）由式(3-13)可知，在定常流动中只有迁移加速度。例 如图3-2中，

13、当水箱的水位保持不变时，2点到3点流体质 点的速度减小，而4点到5点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动 ，例如流体质点在等截面管道中的流动(3点到4点)。在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流动都是定常流动。又如Date21火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可 见研究流体的定常流动有很大的实际意义。二、迹线与流线迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的 运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都

14、有自己 的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直 观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体 质点在不同时刻所形成的曲线，其数学表达式为：（3-14）Date22式(3-14)就是迹线微分方程，是自变量。流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲 线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线 是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线，如图3-3所示 。流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可 以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密 集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法 的研究特点。例如在

15、流动水面上同时撤一大片木屑，这时 可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同 一瞬时各水点的流动方向线就是流线。1、流线的基本特性(1)在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随Date23图 3-3 流线的概念Date24时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线 要随时间变化，故流线和迹线不相重合。(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点 将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或 无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上 不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零 的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。(4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。Date252、流线微分方程现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量