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1、高中生 如何求 数列前 n项和安徽广德县委党校主 讲：张 金 成 Email:教学小结简 介 |一.关于等差与等比数列 |二.等差与等比的和差积商|三.含根式的数列求和|四.对数数列的求和|五.三角数列的求和|六.含排列组合的数列求和|七.交错数列的求和|八.自然数方幂数列及应用 |九.简单的递推数列求和|十复数方法在数列求和中的运用|十一.导数方法在数列求和中的运用 |欢迎指正一.关于等差与等比数列高中课本我们已经学过等差数列与等比数列，这是两个最基本的数列，很多数列将以此为基础进行研究。等差数列的通项公式是an=a1+（n-1）d其前n项和是：sn=（a1+an）n/2或sn=(2a1+(
2、n-1)d)n/2等比数列的通项公式是an=a1qn-1其前n项和是：sn=（a1- anq）/（1-q）或sn=a1（1-qn）/（1-q）只有灵活掌握以上公式的运用，才能更深一步解决复杂数列的求和。例题 有些已知条件不能直接看出它是等差数列或等比数列，必须对条件进行变换。例题：已知等差数列a1=5，d=10，其前k项和为Bk，构造数列An= Bnk- B（n-1）k，求数列An的前n项和Sn。解：an= a1+（n-1）d=5+10（n-1）=-5+10nBk=（ a1+ ak）k/2=（5-5+10k）k/2=5k2An= Bnk- B（n-1）k=5（nk）2-5（n-1）k）2=5（
3、2n-1）k2An+1- An=5（2n+1）k2-5（2n-1）k2=10k2A1= 5k2 ，A2= 15k2 ，A3= 25k2.因此 An是公差为10k2的等差数列,所以Sn=(A1+ An)n/2=(5k2+5（2n-1）k2)n/2= 5k2 n2 例题例题：已知数列an有a1=5且an=a1+a2+ an-1(n2) 求其前n项和Sn。 解： an=a1+a2+an-2+ an-1(n2) =an-1+an-1 =2 an-1即当n2时an/an-1=2， an是以2为公比的等比数列 5，5，10，20，40，80，.an=5x2n-2所以Sn=5+5+5x2+ 5x2n-2=5
4、+(5x2n-2x2-5)/(2-1)= 5x2n-1小结通过以上分析我们知道,求数列前n项和应注意以下几点:1.利用已知条件求出其通项公式是关键.2.其次是判断其是否是两种基本数列(等比或等差).3.最后运用通项公式求其前n项和,并注意通项公式成立的条件,如在例题2中(n2)通项公式才成立. 二.等差与等比的和差积 商所谓等差数列与等比数列的和差积商， 是指等差数列与等比数列它们自身，以及它 们之间通过加减、乘、除等运算所组成的新 复合数列。并不是所有的复合数列，都能求出其前n 项和的一般表达式，高中范围内，只要求掌 握很少几种复合数列前n项和的求法。等差数列与等差数列的和差，仍是等差 数列
5、。等比数列与等比数列的的积商仍是等比 数列。等比数列的乘方开方仍是等比数列。等差指数数列是等比数列。以上几种情况比较简单，我们着重讨论 以下几种情况。1.等差数列与等比数列 的和差等差数列与等比数列的和差也比较简单，主要是 把数列分成等差数列与等比数列两部分分别求和,然 后再相加。an=（a+nd）+（bqn）Sn=（a+d+a+nd）n/2+（bqn-bq）/（q-1）=na+（n+1）nd/2+bq（qn-1）/（q-1）例题：求数列0.3，0.33，0.333，0.3333 前n 项和。解：an=0.333（n个3）=0.999/3=（1- 0.0001）/3=（1-1/10n）/3=1
6、/3-（1/3）10-n所以Sn=0.3+0.33+0.333+0.333=1/3（n-（1/10+1/102+1/103+1/10n） =1/27（9n-1+1/10n）以下数列的求和也是这种类型.求数列81, 891, 8991, 89991的和.求出它的通项公式是关键.2.等比数列与等比数列 和差3等差数列与等差数列 的积商例题4等差数列与等比数列 的积商5小结等差与等比数列和差积商 求法应注意以下几点: 1.首先找出通项公式,并尽量化成 等差等比或其复合形式. 2.变换通项公式,应用基本等差与 等比公式求和. 3.变换通项公式,应用“拆项法”求 和,应注意变换的灵活性. 4.变换通项公
7、式应用“求差法”求 和.三.含根式的数列求和例题四.对数数列的求和五.三角数列的求和例题例题六.含排列组合的数列求 和小结|在以上内容中大都是用拆项求和法 ，它在数列求和中是一种常用的基 本方法。|拆项求和法，就是先将所给的数列 的每一项分成几项，从而得到一系 列等式。|然后将这些等式相加，使之消去许 多同类项就得到所给的数列的和。 1、运用拆项求法的成败，在于能否 分列数列的第N项。 2、拆项求和时，交叉相消后还要剩 余哪些项，必须搞清。七.交错数列的求和八.自然数方幂数列及应 用例题九. 简单的递推求和例题十.复数方法在数列求和 中的运用十一、导数方法在数列 求和中的运用总结高中生数列求和
8、的一般思路 1、首先观察数列各项的变化规律， 求出其通项公式。 2、分析通项公式，判断这个数列是 等比、等差或其和、差、积、商或 其它形式。（常数数列即可看成等 比，也可看成等差） 3、等差数列的积一定可用自然数方 幂求和（自然数方幂一定可用拆项 法求得）。 4、等差与等比的积一定可用“求差法” 求积。 5、若不符合以上条件，判断它能否 使用拆项求和法。总结6、若是三角数列，可判断能否用复 数法，其中角成等差的正余弦函数 数列一定能用复数法求和。 7、若已知道一个预知相联系的函数 数列之和可分析能否用导数法求和 ，数项数列分析能否构造成函数数 列的特例。 8、在所有数列求和方法中，最难把 握的是“拆项求和法”，它是最初等 、而又最普遍的方法，必须加强练 习。欢迎指正该幻灯片制作时间仓促， 使用编写统软件不尽相同，符 号不尽统一，教学演示后未来 得及修改，请多包涵并欢迎专 家批评指正。附|作者简介张金成，男，35岁，党校助理 讲师，主讲哲学，数学 。作者希望到中学任教，适合初 高中政治数学，也希 望各位同仁向你校推荐。电话：0563-6020280 E-mail:
